Страница 95 номер 398, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Решением системы неравенств является любое значение \(x\), которое удовлетворяет каждому её неравенству. Поэтому в каждом пункте найдём множество решений каждого неравенства, а затем общую часть этих множеств.

а) Решим первое неравенство методом интервалов. Множитель \(2x - 1\) обращается в нуль при \(x = 0{,}5\), множитель \(x + 6\) — при \(x = -6\). При \(x > 0{,}5\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек \(0{,}5\) и \(-6\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-6; 0{,}5)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -6)\) — положительно.

Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки произведения и выделим штриховкой решения неравенства:

Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-6\) и \(0{,}5\), при которых произведение равно нулю, входят в множество решений. Множество решений первого неравенства — \((-\infty; -6] \cup [0{,}5; +\infty)\).

Второе неравенство: произведение \((x - 6)(x - 7)\) обращается в нуль при \(x = 6\) и \(x = 7\). При \(x > 7\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек 7 и 6 меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((6; 7)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; 6)\) — положительно.

Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки произведения и выделим штриховкой решения неравенства:

Неравенство строгое, поэтому числа 6 и 7 в множество решений не входят. Множество решений второго неравенства — \((-\infty; 6) \cup (7; +\infty)\).

Решения системы — общая часть найденных множеств. Луч \((-\infty; -6]\) целиком лежит в луче \((-\infty; 6)\) и не имеет общих точек с лучом \((7; +\infty)\). Общая часть луча \([0{,}5; +\infty)\) и луча \((-\infty; 6)\) — промежуток \([0{,}5; 6)\), а луч \((7; +\infty)\) целиком лежит в луче \([0{,}5; +\infty)\). Значит, множество решений системы — \((-\infty; -6] \cup [0{,}5; 6) \cup (7; +\infty)\).

б) Неравенство \(|x| \geqslant 6\) равносильно совокупности неравенств \[\left[\begin{array}{l} x \geqslant 6, \\ x \leqslant -6. \end{array}\right.\] Множество решений первого неравенства — \((-\infty; -6] \cup [6; +\infty)\).

Второе неравенство — квадратное. Разложим его левую часть на множители; для этого найдём корни квадратного трёхчлена: \[\begin{aligned} 4x^2 + 19x - 23 &= 0; \\ D &= 19^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-23) = 361 + 368 = 729; \\ x_1 &= \frac{-19 - \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-19 - 27}{8} = -5{,}75; \\ x_2 &= \frac{-19 + \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-19 + 27}{8} = 1. \end{aligned}\] Значит, \(4x^2 + 19x - 23 = 4(x + 5{,}75)(x - 1)\), и неравенство примет вид \(4(x + 5{,}75)(x - 1) \leqslant 0\). Решим его методом интервалов. При \(x > 1\) оба множителя \(x + 5{,}75\) и \(x - 1\) положительны, поэтому знак произведения совпадает со знаком числа 4 — оно положительно. При переходе через каждую из точек 1 и \(-5{,}75\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-5{,}75; 1)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -5{,}75)\) — положительно.

Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки произведения и выделим штриховкой решения неравенства:

Неравенство нестрогое, поэтому корни трёхчлена \(-5{,}75\) и 1 входят в множество решений. Множество решений второго неравенства — отрезок \([-5{,}75; 1]\).

Все числа отрезка \([-5{,}75; 1]\) больше \(-6\) (так как \(-5{,}75 > -6\)) и меньше 6, поэтому ни одно из них не удовлетворяет неравенству \(|x| \geqslant 6\): у отрезка \([-5{,}75; 1]\) нет общих точек с множеством \((-\infty; -6] \cup [6; +\infty)\). Значит, система не имеет решений.

Ответ: а) \((-\infty; -6] \cup [0{,}5; 6) \cup (7; +\infty)\); б) решений нет.