Страница 95 номер 396, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сколько целых решений имеет система неравенств \(\begin{cases}(x + 4)(x + 1) \le 0, \\ (x - 1)(x + 3) \ge 0?\end{cases}\)
Произведение \((x + 4)(x + 1)\) обращается в нуль при \(x = -4\) и \(x = -1\). При \(x > -1\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на \((-4; -1)\) произведение отрицательно, на \((-\infty; -4)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, нули \(-4\) и \(-1\) входят в решение: множество решений первого неравенства — отрезок \([-4; -1]\).
Произведение \((x - 1)(x + 3)\) обращается в нуль при \(x = 1\) и \(x = -3\). При \(x > 1\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на \((-3; 1)\) произведение отрицательно, на \((-\infty; -3)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, нули \(-3\) и 1 входят в решение: множество решений второго неравенства — \((-\infty; -3] \cup [1; +\infty)\).
Общая часть отрезка \([-4; -1]\) и луча \((-\infty; -3]\) — отрезок \([-4; -3]\); с лучом \([1; +\infty)\) у отрезка \([-4; -1]\) общих точек нет, так как все его числа меньше 1. Значит, множество решений системы — отрезок \([-4; -3]\).
Целые числа этого отрезка — \(-4\) и \(-3\), поэтому система имеет два целых решения.
Ответ: два целых решения: \(-4\) и \(-3\).
Сколько целых решений имеет система неравенств \(\begin{cases}(x + 4)(x + 1) \le 0, \\ (x - 1)(x + 3) \ge 0?\end{cases}\)
Решением системы неравенств является любое значение \(x\), которое удовлетворяет каждому её неравенству. Найдём множество решений каждого неравенства методом интервалов, а затем общую часть этих множеств.
Произведение \((x + 4)(x + 1)\) обращается в нуль при \(x = -4\) и \(x = -1\). При \(x > -1\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек \(-1\) и \(-4\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-4; -1)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -4)\) — положительно.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки произведения и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-4\) и \(-1\) входят в множество решений. Множество решений первого неравенства — отрезок \([-4; -1]\).
Произведение \((x - 1)(x + 3)\) обращается в нуль при \(x = 1\) и \(x = -3\). При \(x > 1\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек 1 и \(-3\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-3; 1)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки произведения и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-3\) и 1 входят в множество решений. Множество решений второго неравенства — \((-\infty; -3] \cup [1; +\infty)\).
Решения системы — общая часть найденных множеств. Общая часть отрезка \([-4; -1]\) и луча \((-\infty; -3]\) — отрезок \([-4; -3]\); с лучом \([1; +\infty)\) у отрезка \([-4; -1]\) общих точек нет, так как все его числа меньше 1. Значит, множество решений системы — отрезок \([-4; -3]\).
Целые числа этого отрезка — \(-4\) и \(-3\). Следовательно, система имеет два целых решения.
Ответ: два целых решения: \(-4\) и \(-3\).
