Страница 95 номер 395, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}(x - 3)(x + 5) \le 0, \\ (x - 1)(x + 1) \ge 0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}(2 - x)(x - 7) > 0, \\ (x + 3)(x - 5) \le 0.\end{cases}\)
а) Произведение \((x - 3)(x + 5)\) обращается в нуль при \(x = 3\) и \(x = -5\). При \(x > 3\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на \((-5; 3)\) произведение отрицательно, на \((-\infty; -5)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, нули \(-5\) и 3 входят в решение: множество решений первого неравенства — отрезок \([-5; 3]\).
Произведение \((x - 1)(x + 1)\) обращается в нуль при \(x = 1\) и \(x = -1\). При \(x > 1\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на \((-1; 1)\) произведение отрицательно, на \((-\infty; -1)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, нули \(-1\) и 1 входят в решение: множество решений второго неравенства — \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\).
Общая часть отрезка \([-5; 3]\) и луча \((-\infty; -1]\) — отрезок \([-5; -1]\), а отрезка \([-5; 3]\) и луча \([1; +\infty)\) — отрезок \([1; 3]\). Значит, множество решений системы — \([-5; -1] \cup [1; 3]\).
б) \(2 - x = -(x - 2)\); при умножении обеих частей на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} (2 - x)(x - 7) &> 0; \\ -(x - 2)(x - 7) &> 0; \qquad | \cdot (-1) \\ (x - 2)(x - 7) &< 0. \end{aligned}\] Произведение обращается в нуль при \(x = 2\) и \(x = 7\). При \(x > 7\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на \((2; 7)\) произведение отрицательно, на \((-\infty; 2)\) — положительно.
Неравенство строгое, нули 2 и 7 в решение не входят: множество решений первого неравенства — интервал \((2; 7)\).
Произведение \((x + 3)(x - 5)\) обращается в нуль при \(x = -3\) и \(x = 5\). При \(x > 5\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на \((-3; 5)\) произведение отрицательно, на \((-\infty; -3)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, нули \(-3\) и 5 входят в решение: множество решений второго неравенства — отрезок \([-3; 5]\).
Решения системы — общая часть интервала \((2; 7)\) и отрезка \([-3; 5]\); так как \(-3 < 2 < 5 < 7\), это промежуток \((2; 5]\).
Ответ: а) \([-5; -1] \cup [1; 3]\); б) \((2; 5]\).
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}(x - 3)(x + 5) \le 0, \\ (x - 1)(x + 1) \ge 0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}(2 - x)(x - 7) > 0, \\ (x + 3)(x - 5) \le 0.\end{cases}\)
Решением системы неравенств является любое значение \(x\), которое удовлетворяет каждому её неравенству. Поэтому в каждом пункте найдём множество решений каждого неравенства, а затем общую часть этих множеств. Неравенства решим методом интервалов.
а) Произведение \((x - 3)(x + 5)\) обращается в нуль при \(x = 3\) и \(x = -5\). При \(x > 3\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек 3 и \(-5\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-5; 3)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -5)\) — положительно.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки произведения и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-5\) и 3, при которых произведение равно нулю, входят в множество решений. Множество решений первого неравенства — отрезок \([-5; 3]\).
Произведение \((x - 1)(x + 1)\) обращается в нуль при \(x = 1\) и \(x = -1\). При \(x > 1\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек 1 и \(-1\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-1; 1)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки произведения и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-1\) и 1 входят в множество решений. Множество решений второго неравенства — \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\).
Решения системы — общая часть найденных множеств. Общая часть отрезка \([-5; 3]\) и луча \((-\infty; -1]\) — отрезок \([-5; -1]\), а отрезка \([-5; 3]\) и луча \([1; +\infty)\) — отрезок \([1; 3]\). Значит, множество решений системы — \([-5; -1] \cup [1; 3]\).
б) В первом неравенстве запишем первый множитель в виде \(2 - x = -(x - 2)\) и умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} (2 - x)(x - 7) &> 0; \\ -(x - 2)(x - 7) &> 0; \qquad | \cdot (-1) \\ (x - 2)(x - 7) &< 0. \end{aligned}\] Произведение обращается в нуль при \(x = 2\) и \(x = 7\). При \(x > 7\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек 7 и 2 меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((2; 7)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; 2)\) — положительно.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки произведения и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство строгое, поэтому числа 2 и 7 в множество решений не входят. Множество решений первого неравенства — интервал \((2; 7)\).
Произведение \((x + 3)(x - 5)\) обращается в нуль при \(x = -3\) и \(x = 5\). При \(x > 5\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек 5 и \(-3\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-3; 5)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки произведения и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-3\) и 5 входят в множество решений. Множество решений второго неравенства — отрезок \([-3; 5]\).
Решения системы — общая часть интервала \((2; 7)\) и отрезка \([-3; 5]\). Так как \(-3 < 2 < 5 < 7\), это числа, которые больше 2 и не больше 5, — промежуток \((2; 5]\).
Ответ: а) \([-5; -1] \cup [1; 3]\); б) \((2; 5]\).
