Страница 95 номер 394, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Решением системы неравенств является любое значение \(x\), которое удовлетворяет каждому её неравенству. Поэтому в каждом пункте найдём множество решений каждого неравенства, а затем общую часть этих множеств.

а) Решим первое неравенство: \[\begin{aligned} x + 6 &\geqslant 0; \\ x &\geqslant -6. \end{aligned}\] Множество его решений — промежуток \([-6; +\infty)\).

Решим второе неравенство: \[\begin{aligned} x + 3 &< 0; \\ x &< -3. \end{aligned}\] Множество его решений — промежуток \((-\infty; -3)\).

Общую часть промежутков \([-6; +\infty)\) и \((-\infty; -3)\) составляют числа, которые не меньше \(-6\) и меньше \(-3\). Значит, множество решений системы — промежуток \([-6; -3)\).

б) Решим первое неравенство — оно линейное: \[\begin{aligned} 2x - 16 &\leqslant 0; \\ 2x &\leqslant 16; \qquad | : 2 \\ x &\leqslant 8. \end{aligned}\] Множество его решений — промежуток \((-\infty; 8]\).

Второе неравенство решим методом интервалов. Числитель дроби \(\frac{x - 3}{x - 11}\) обращается в нуль при \(x = 3\), знаменатель — при \(x = 11\). При \(x > 11\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 11 меняет знак знаменатель, а при переходе через 3 — числитель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((3; 11)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; 3)\) — положительна.

Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решения неравенства:

Неравенство строгое, поэтому число 3 в множество решений не входит; число 11 не входит, так как при нём знаменатель равен нулю. Множество решений второго неравенства — интервал \((3; 11)\).

Решения системы — общая часть промежутков \((-\infty; 8]\) и \((3; 11)\). Так как \(3 < 8 < 11\), это числа, которые больше 3 и не больше 8, — промежуток \((3; 8]\).

в) Решим первое неравенство. Перенесём 1 в левую часть и приведём разность к общему знаменателю: \[\begin{aligned} \frac{x + 1}{x - 6} &> 1; \\ \frac{x + 1}{x - 6} - 1 &> 0; \\ \frac{x + 1 - (x - 6)}{x - 6} &> 0; \\ \frac{7}{x - 6} &> 0. \end{aligned}\] Числитель дроби — положительное число 7, поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда положителен её знаменатель: \(x - 6 > 0\), то есть \(x > 6\). Множество решений первого неравенства — промежуток \((6; +\infty)\).

Решим второе неравенство. Перенесём 2 в левую часть и приведём разность к общему знаменателю: \[\begin{aligned} \frac{3x - 1}{x - 15} &\leqslant 2; \\ \frac{3x - 1}{x - 15} - 2 &\leqslant 0; \\ \frac{3x - 1 - 2(x - 15)}{x - 15} &\leqslant 0; \\ \frac{x + 29}{x - 15} &\leqslant 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = -29\), знаменатель — при \(x = 15\). При \(x > 15\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 15 меняет знак знаменатель, а при переходе через \(-29\) — числитель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((-29; 15)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; -29)\) — положительна.

Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решения неравенства:

Неравенство нестрогое, поэтому число \(-29\), при котором числитель равен нулю, входит в множество решений; число 15, при котором знаменатель равен нулю, не входит. Множество решений второго неравенства — промежуток \([-29; 15)\).

Решения системы — общая часть промежутков \((6; +\infty)\) и \([-29; 15)\). Так как \(-29 < 6 < 15\), это числа, которые больше 6 и меньше 15, — интервал \((6; 15)\).

Ответ: а) \([-6; -3)\); б) \((3; 8]\); в) \((6; 15)\).