Страница 94 номер 393, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Частное и произведение двух чисел (делитель не равен нулю) имеют один и тот же знак, поэтому при \(x \ne 3\) дробь \(\frac{x + 1}{x - 3}\) имеет тот же знак, что и произведение \((x + 1)(x - 3)\), а при \(x = -1\) оба выражения равны нулю; при \(x = 3\) произведение равно нулю, а дробь не определена. Точно так же при \(x \ne -3\) знак дроби \(\frac{x - 2}{x + 3}\) совпадает со знаком произведения \((x - 2)(x + 3)\), а при \(x = 2\) оба выражения равны нулю; при \(x = -3\) произведение равно нулю, а дробь не определена.
Произведение \((x + 1)(x - 3)\) обращается в нуль при \(x = -1\) и \(x = 3\). При \(x > 3\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется.
Значит, \((x + 1)(x - 3) > 0\) и \(\frac{x + 1}{x - 3} > 0\) при \(x < -1\) и при \(x > 3\), а \((x + 1)(x - 3) < 0\) и \(\frac{x + 1}{x - 3} < 0\) при \(-1 < x < 3\).
Произведение \((x - 2)(x + 3)\) обращается в нуль при \(x = 2\) и \(x = -3\). При \(x > 2\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется.
Значит, \((x - 2)(x + 3) > 0\) и \(\frac{x - 2}{x + 3} > 0\) при \(x < -3\) и при \(x > 2\), а \((x - 2)(x + 3) < 0\) и \(\frac{x - 2}{x + 3} < 0\) при \(-3 < x < 2\).
1) Дробь \(\frac{x + 1}{x - 3}\) положительна при \(x < -1\) и при \(x > 3\) и равна нулю при \(x = -1\), поэтому множество решений неравенства \(\frac{x + 1}{x - 3} \geqslant 0\) — \((-\infty; -1] \cup (3; +\infty)\). Дробь \(\frac{x - 2}{x + 3}\) отрицательна при \(-3 < x < 2\) и равна нулю при \(x = 2\), поэтому множество решений неравенства \(\frac{x - 2}{x + 3} \leqslant 0\) — промежуток \((-3; 2]\). Луч \((3; +\infty)\) общих точек с промежутком \((-3; 2]\) не имеет, а общая часть луча \((-\infty; -1]\) и промежутка \((-3; 2]\) — промежуток \((-3; -1]\). Множество решений системы — \((-3; -1]\).
2) Множество решений неравенства \(\frac{x + 1}{x - 3} > 0\) — \((-\infty; -1) \cup (3; +\infty)\), неравенства \(\frac{x - 2}{x + 3} < 0\) — интервал \((-3; 2)\). Луч \((3; +\infty)\) общих точек с интервалом \((-3; 2)\) не имеет, а общая часть луча \((-\infty; -1)\) и интервала \((-3; 2)\) — интервал \((-3; -1)\). Множество решений системы — \((-3; -1)\).
3) Произведения имеют те же знаки, что и дроби во второй системе, поэтому множество решений неравенства \((x + 1)(x - 3) > 0\) — тоже \((-\infty; -1) \cup (3; +\infty)\), а неравенства \((x - 2)(x + 3) < 0\) — интервал \((-3; 2)\). Множество решений системы, как и во второй системе, — \((-3; -1)\).
4) Произведение \((x + 1)(x - 3)\) равно нулю при \(x = -1\) и при \(x = 3\), поэтому множество решений неравенства \((x + 1)(x - 3) \geqslant 0\) — \((-\infty; -1] \cup [3; +\infty)\). Произведение \((x - 2)(x + 3)\) равно нулю при \(x = -3\) и при \(x = 2\), поэтому множество решений неравенства \((x - 2)(x + 3) \leqslant 0\) — отрезок \([-3; 2]\). Луч \([3; +\infty)\) общих точек с отрезком \([-3; 2]\) не имеет, а общая часть луча \((-\infty; -1]\) и отрезка \([-3; 2]\) — отрезок \([-3; -1]\). Множество решений системы — \([-3; -1]\).
Множества решений систем 2) и 3) совпадают. Множество решений системы 1) содержит число \(-1\), а системы 4) — числа \(-3\) и \(-1\); этих чисел в интервале \((-3; -1)\) нет. Множества решений систем 1) и 4) тоже различны: число \(-3\) входит в множество решений системы 4), но не входит в множество решений системы 1).
Ответ: совпадают множества решений систем 2) и 3): у каждой из них это интервал \((-3; -1)\).
В первых неравенствах всех четырёх систем стоят выражения с множителями \(x + 1\) и \(x - 3\), во вторых — с множителями \(x - 2\) и \(x + 3\).
Частное и произведение двух чисел (делитель не равен нулю) имеют один и тот же знак: они положительны, если числа одного знака, и отрицательны, если знаки чисел разные. Поэтому при \(x \ne 3\) дробь \(\frac{x + 1}{x - 3}\) имеет тот же знак, что и произведение \((x + 1)(x - 3)\), а при \(x = -1\) оба выражения равны нулю; при \(x = 3\) произведение равно нулю, а дробь не определена. Точно так же при \(x \ne -3\) знак дроби \(\frac{x - 2}{x + 3}\) совпадает со знаком произведения \((x - 2)(x + 3)\), а при \(x = 2\) оба выражения равны нулю; при \(x = -3\) произведение равно нулю, а дробь не определена.
Найдём знаки произведения \((x + 1)(x - 3)\) методом интервалов. Оно обращается в нуль при \(x = -1\) и \(x = 3\). При \(x > 3\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек 3 и \(-1\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-1; 3)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно. Отметим эти числа на числовой прямой и расставим знаки:
Значит, \((x + 1)(x - 3) > 0\) и \(\frac{x + 1}{x - 3} > 0\) при \(x < -1\) и при \(x > 3\), а \((x + 1)(x - 3) < 0\) и \(\frac{x + 1}{x - 3} < 0\) при \(-1 < x < 3\).
Так же найдём знаки произведения \((x - 2)(x + 3)\). Оно обращается в нуль при \(x = 2\) и \(x = -3\). При \(x > 2\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек 2 и \(-3\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-3; 2)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно. Отметим эти числа на числовой прямой и расставим знаки:
Значит, \((x - 2)(x + 3) > 0\) и \(\frac{x - 2}{x + 3} > 0\) при \(x < -3\) и при \(x > 2\), а \((x - 2)(x + 3) < 0\) и \(\frac{x - 2}{x + 3} < 0\) при \(-3 < x < 2\).
Найдём множество решений каждой системы — общую часть множеств решений её неравенств.
1) Дробь \(\frac{x + 1}{x - 3}\) положительна при \(x < -1\) и при \(x > 3\) и равна нулю при \(x = -1\), поэтому множество решений неравенства \(\frac{x + 1}{x - 3} \geqslant 0\) — \((-\infty; -1] \cup (3; +\infty)\). Дробь \(\frac{x - 2}{x + 3}\) отрицательна при \(-3 < x < 2\) и равна нулю при \(x = 2\), поэтому множество решений неравенства \(\frac{x - 2}{x + 3} \leqslant 0\) — промежуток \((-3; 2]\). Луч \((3; +\infty)\) общих точек с промежутком \((-3; 2]\) не имеет, а общая часть луча \((-\infty; -1]\) и промежутка \((-3; 2]\) — промежуток \((-3; -1]\). Множество решений системы — \((-3; -1]\).
2) Множество решений неравенства \(\frac{x + 1}{x - 3} > 0\) — \((-\infty; -1) \cup (3; +\infty)\), неравенства \(\frac{x - 2}{x + 3} < 0\) — интервал \((-3; 2)\). Луч \((3; +\infty)\) общих точек с интервалом \((-3; 2)\) не имеет, а общая часть луча \((-\infty; -1)\) и интервала \((-3; 2)\) — интервал \((-3; -1)\). Множество решений системы — \((-3; -1)\).
3) Произведения имеют те же знаки, что и дроби во второй системе, поэтому множество решений неравенства \((x + 1)(x - 3) > 0\) — тоже \((-\infty; -1) \cup (3; +\infty)\), а неравенства \((x - 2)(x + 3) < 0\) — интервал \((-3; 2)\). Множество решений системы, как и во второй системе, — \((-3; -1)\).
4) Произведение \((x + 1)(x - 3)\) равно нулю при \(x = -1\) и при \(x = 3\), поэтому множество решений неравенства \((x + 1)(x - 3) \geqslant 0\) — \((-\infty; -1] \cup [3; +\infty)\). Произведение \((x - 2)(x + 3)\) равно нулю при \(x = -3\) и при \(x = 2\), поэтому множество решений неравенства \((x - 2)(x + 3) \leqslant 0\) — отрезок \([-3; 2]\). Луч \([3; +\infty)\) общих точек с отрезком \([-3; 2]\) не имеет, а общая часть луча \((-\infty; -1]\) и отрезка \([-3; 2]\) — отрезок \([-3; -1]\). Множество решений системы — \([-3; -1]\).
Множества решений систем 2) и 3) совпадают: это интервал \((-3; -1)\). Множество решений системы 1) содержит число \(-1\), а множество решений системы 4) — числа \(-3\) и \(-1\); этих чисел в интервале \((-3; -1)\) нет. Множества решений систем 1) и 4) тоже различны: число \(-3\) входит в множество решений системы 4), но не входит в множество решений системы 1).
Ответ: совпадают множества решений систем 2) и 3): у каждой из них это интервал \((-3; -1)\).
