Страница 94 номер 392, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}6x + 9 \ge 0, \\ \frac{x+5}{x-1} \le 0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}\frac{2x-1}{3-x} < 0, \\ \frac{x-7}{x-1} \ge 0;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}\frac{2x-1}{x+2} > 1, \\ \frac{2x+2}{x-1} \le 3.\end{cases}\)
а) \[\begin{aligned} 6x + 9 &\geqslant 0; \\ 6x &\geqslant -9; \qquad | : 6 \\ x &\geqslant -1{,}5. \end{aligned}\] Множество решений первого неравенства — \([-1{,}5; +\infty)\).
Числитель дроби \(\frac{x + 5}{x - 1}\) обращается в нуль при \(x = -5\), знаменатель — при \(x = 1\). При \(x > 1\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 1 меняет знак знаменатель, а при переходе через \(-5\) — числитель, поэтому оба раза знак дроби меняется: на \((-5; 1)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; -5)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя \(-5\) входит в решение, а нуль знаменателя 1 не входит: множество решений второго неравенства — \([-5; 1)\).
Решения системы — общая часть промежутков \([-1{,}5; +\infty)\) и \([-5; 1)\); так как \(-5 < -1{,}5 < 1\), это промежуток \([-1{,}5; 1)\).
б) \(3 - x = -(x - 3)\); при умножении обеих частей на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{2x - 1}{3 - x} &< 0; \\ -\frac{2x - 1}{x - 3} &< 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{2x - 1}{x - 3} &> 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 0{,}5\), знаменатель — при \(x = 3\). При \(x > 3\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 3 меняет знак знаменатель, а при переходе через \(0{,}5\) — числитель, поэтому оба раза знак дроби меняется: на \((0{,}5; 3)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; 0{,}5)\) — положительна.
Неравенство строгое, поэтому число \(0{,}5\) в решение не входит; число 3 не входит, так как при нём знаменатель равен нулю: множество решений первого неравенства — \((-\infty; 0{,}5) \cup (3; +\infty)\).
Числитель дроби \(\frac{x - 7}{x - 1}\) обращается в нуль при \(x = 7\), знаменатель — при \(x = 1\). При \(x > 7\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 7 меняет знак числитель, а при переходе через 1 — знаменатель, поэтому оба раза знак дроби меняется: на \((1; 7)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; 1)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя 7 входит в решение, а нуль знаменателя 1 не входит: множество решений второго неравенства — \((-\infty; 1) \cup [7; +\infty)\).
Промежуток \((-\infty; 0{,}5)\) целиком лежит в промежутке \((-\infty; 1)\) и не имеет общих точек с лучом \([7; +\infty)\). Промежуток \((3; +\infty)\) не имеет общих точек с промежутком \((-\infty; 1)\), а луч \([7; +\infty)\) целиком лежит в нём. Значит, множество решений системы — \((-\infty; 0{,}5) \cup [7; +\infty)\).
в) \[\begin{aligned} \frac{2x - 1}{x + 2} &> 1; \\ \frac{2x - 1}{x + 2} - 1 &> 0; \\ \frac{2x - 1 - (x + 2)}{x + 2} &> 0; \\ \frac{x - 3}{x + 2} &> 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 3\), знаменатель — при \(x = -2\). При \(x > 3\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 3 меняет знак числитель, а при переходе через \(-2\) — знаменатель, поэтому оба раза знак дроби меняется: на \((-2; 3)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; -2)\) — положительна.
Неравенство строгое, поэтому число 3 в решение не входит; число \(-2\) не входит, так как при нём знаменатель равен нулю: множество решений первого неравенства — \((-\infty; -2) \cup (3; +\infty)\).
Во втором неравенстве при умножении обеих частей на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{2x + 2}{x - 1} &\leqslant 3; \\ \frac{2x + 2}{x - 1} - 3 &\leqslant 0; \\ \frac{2x + 2 - 3(x - 1)}{x - 1} &\leqslant 0; \\ \frac{-x + 5}{x - 1} &\leqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x - 5}{x - 1} &\geqslant 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 5\), знаменатель — при \(x = 1\). При \(x > 5\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 5 меняет знак числитель, а при переходе через 1 — знаменатель, поэтому оба раза знак дроби меняется: на \((1; 5)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; 1)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя 5 входит в решение, а нуль знаменателя 1 не входит: множество решений второго неравенства — \((-\infty; 1) \cup [5; +\infty)\).
Промежуток \((-\infty; -2)\) целиком лежит в промежутке \((-\infty; 1)\) и не имеет общих точек с лучом \([5; +\infty)\). Промежуток \((3; +\infty)\) не имеет общих точек с промежутком \((-\infty; 1)\), а луч \([5; +\infty)\) целиком лежит в нём. Значит, множество решений системы — \((-\infty; -2) \cup [5; +\infty)\).
Ответ: а) \([-1{,}5; 1)\); б) \((-\infty; 0{,}5) \cup [7; +\infty)\); в) \((-\infty; -2) \cup [5; +\infty)\).
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}6x + 9 \ge 0, \\ \frac{x+5}{x-1} \le 0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}\frac{2x-1}{3-x} < 0, \\ \frac{x-7}{x-1} \ge 0;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}\frac{2x-1}{x+2} > 1, \\ \frac{2x+2}{x-1} \le 3.\end{cases}\)
Решением системы неравенств является любое значение \(x\), которое удовлетворяет каждому её неравенству. Поэтому в каждом пункте найдём множество решений каждого неравенства, а затем общую часть этих множеств.
а) Решим первое неравенство — оно линейное: \[\begin{aligned} 6x + 9 &\geqslant 0; \\ 6x &\geqslant -9; \qquad | : 6 \\ x &\geqslant -1{,}5. \end{aligned}\] Множество его решений — промежуток \([-1{,}5; +\infty)\).
Второе неравенство решим методом интервалов. Числитель дроби \(\frac{x + 5}{x - 1}\) обращается в нуль при \(x = -5\), знаменатель — при \(x = 1\). При \(x > 1\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 1 меняет знак знаменатель, а при переходе через \(-5\) — числитель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((-5; 1)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; -5)\) — положительна.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому число \(-5\), при котором числитель равен нулю, входит в множество решений; число 1, при котором знаменатель равен нулю, не входит. Множество решений второго неравенства — промежуток \([-5; 1)\).
Решения системы — общая часть промежутков \([-1{,}5; +\infty)\) и \([-5; 1)\). Так как \(-5 < -1{,}5 < 1\), это числа, которые не меньше \(-1{,}5\) и меньше 1, — промежуток \([-1{,}5; 1)\).
б) Решим первое неравенство. Так как \(3 - x = -(x - 3)\), дробь \(\frac{2x - 1}{3 - x}\) можно записать со знаком «минус» перед ней. Умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{2x - 1}{3 - x} &< 0; \\ -\frac{2x - 1}{x - 3} &< 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{2x - 1}{x - 3} &> 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 0{,}5\), знаменатель — при \(x = 3\). При \(x > 3\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 3 меняет знак знаменатель, а при переходе через \(0{,}5\) — числитель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((0{,}5; 3)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; 0{,}5)\) — положительна.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство строгое, поэтому число \(0{,}5\) в множество решений не входит; число 3 не входит, так как при нём знаменатель равен нулю. Множество решений первого неравенства — \((-\infty; 0{,}5) \cup (3; +\infty)\).
Второе неравенство решим методом интервалов. Числитель дроби \(\frac{x - 7}{x - 1}\) обращается в нуль при \(x = 7\), знаменатель — при \(x = 1\). При \(x > 7\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 7 меняет знак числитель, а при переходе через 1 — знаменатель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((1; 7)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; 1)\) — положительна.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому число 7, при котором числитель равен нулю, входит в множество решений; число 1, при котором знаменатель равен нулю, не входит. Множество решений второго неравенства — \((-\infty; 1) \cup [7; +\infty)\).
Решения системы — общая часть найденных множеств. Промежуток \((-\infty; 0{,}5)\) целиком лежит в промежутке \((-\infty; 1)\) и не имеет общих точек с лучом \([7; +\infty)\). Промежуток \((3; +\infty)\) не имеет общих точек с промежутком \((-\infty; 1)\), а луч \([7; +\infty)\) целиком лежит в нём. Значит, множество решений системы — \((-\infty; 0{,}5) \cup [7; +\infty)\).
в) Решим первое неравенство. Перенесём 1 в левую часть и приведём разность к общему знаменателю: \[\begin{aligned} \frac{2x - 1}{x + 2} &> 1; \\ \frac{2x - 1}{x + 2} - 1 &> 0; \\ \frac{2x - 1 - (x + 2)}{x + 2} &> 0; \\ \frac{x - 3}{x + 2} &> 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 3\), знаменатель — при \(x = -2\). При \(x > 3\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 3 меняет знак числитель, а при переходе через \(-2\) — знаменатель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((-2; 3)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; -2)\) — положительна.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство строгое, поэтому число 3 в множество решений не входит; число \(-2\) не входит, так как при нём знаменатель равен нулю. Множество решений первого неравенства — \((-\infty; -2) \cup (3; +\infty)\).
Решим второе неравенство. Перенесём 3 в левую часть, приведём разность к общему знаменателю, а затем умножим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{2x + 2}{x - 1} &\leqslant 3; \\ \frac{2x + 2}{x - 1} - 3 &\leqslant 0; \\ \frac{2x + 2 - 3(x - 1)}{x - 1} &\leqslant 0; \\ \frac{-x + 5}{x - 1} &\leqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x - 5}{x - 1} &\geqslant 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 5\), знаменатель — при \(x = 1\). При \(x > 5\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 5 меняет знак числитель, а при переходе через 1 — знаменатель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((1; 5)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; 1)\) — положительна.
Отметим эти числа на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решения неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому число 5, при котором числитель равен нулю, входит в множество решений; число 1, при котором знаменатель равен нулю, не входит. Множество решений второго неравенства — \((-\infty; 1) \cup [5; +\infty)\).
Решения системы — общая часть найденных множеств. Промежуток \((-\infty; -2)\) целиком лежит в промежутке \((-\infty; 1)\) и не имеет общих точек с лучом \([5; +\infty)\). Промежуток \((3; +\infty)\) не имеет общих точек с промежутком \((-\infty; 1)\), а луч \([5; +\infty)\) целиком лежит в нём. Значит, множество решений системы — \((-\infty; -2) \cup [5; +\infty)\).
Ответ: а) \([-1{,}5; 1)\); б) \((-\infty; 0{,}5) \cup [7; +\infty)\); в) \((-\infty; -2) \cup [5; +\infty)\).
