Страница 93 номер 386, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 19\) км — расстояние между \(A\) и \(B\)
\(s_1 = 9\) км — путь пешехода, шедшего из \(A\), до встречи
\(v_1 - v_2 = 1\) км/ч, где \(v_1\) и \(v_2\) — скорости пешеходов, шедших из \(A\) и из \(B\)
\(t = 0{,}5\) ч — остановка пешехода, шедшего из \(A\), до встречи

Найти: \(v_1\) — скорость пешехода, шедшего из \(A\).

Решение:

Пусть \(v_1 = x\) км/ч, \(v_2 = y\) км/ч. Пешеход, шедший из \(A\), шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из \(B\): \(x = y + 1\).

До встречи пешеход, шедший из \(A\), прошёл 9 км и был в движении \(\frac{9}{x}\) ч, а ещё \(0{,}5\) ч он стоял. Пешеход, шедший из \(B\), прошёл до встречи \(19 - 9 = 10\) (км) и затратил на это \(\frac{10}{y}\) ч. Пешеходы вышли одновременно, поэтому от выхода до встречи у каждого из них прошло одно и то же время: \(\frac{9}{x} + 0{,}5 = \frac{10}{y}\).

Получаем систему уравнений \[\begin{cases} \frac{9}{x} + 0{,}5 = \frac{10}{y}, \\ x = y + 1. \end{cases}\] Подставим \(y + 1\) вместо \(x\) в первое уравнение системы. Получим уравнение с одной переменной \(\frac{9}{y + 1} + 0{,}5 = \frac{10}{y}\).

Скорости \(y\) и \(x = y + 1\) положительны по смыслу задачи, поэтому значения \(y = 0\) и \(y = -1\), при которых знаменатели дробей обращаются в нуль, не подходят по условию задачи. Умножим обе части уравнения на \(2y(y + 1)\), раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть: \[\begin{aligned} \frac{9}{y + 1} + 0{,}5 &= \frac{10}{y}; \qquad | \cdot 2y(y + 1) \\ 18y + y(y + 1) &= 20(y + 1); \\ 18y + y^2 + y &= 20y + 20; \\ y^2 - y - 20 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} y_1 &= \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4; \\ y_2 &= \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5. \end{aligned}\] Соответствующие значения \(x = y + 1\) равны \(-4 + 1 = -3\) и \(5 + 1 = 6\). Таким образом, система имеет два решения: \((-3; -4)\) и \((6; 5)\).

Скорость пешехода не может быть отрицательной, поэтому подходит только одно решение: \((6; 5)\). Следовательно, пешеход, шедший из \(A\), шёл со скоростью 6 км/ч, а пешеход, шедший из \(B\), — со скоростью 5 км/ч.

Проверка: пешеход, шедший из \(A\), был в движении \(9 : 6 = 1{,}5\) (ч) и стоял \(0{,}5\) ч, всего до встречи прошло \(1{,}5 + 0{,}5 = 2\) (ч); пешеход, шедший из \(B\), был в пути \(10 : 5 = 2\) (ч) — столько же; скорости отличаются на \(6 - 5 = 1\) (км/ч).

Ответ: 6 км/ч.