Страница 92 номер 384, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 50\) км — расстояние между \(M\) и \(N\)
\(t = 30\) мин — время движения до встречи
\(t_1 - t_2 = 25\) мин, где \(t_1\) — время в пути от \(M\) до \(N\), \(t_2\) — от \(N\) до \(M\)

Найти: скорость каждого мотоциклиста.

Решение:

Пусть мотоциклист, выехавший из \(M\), ехал со скоростью \(x\) км/ч, а мотоциклист, выехавший из \(N\), — со скоростью \(y\) км/ч.

Мотоциклисты ехали навстречу друг другу, поэтому за 1 ч расстояние между ними уменьшалось на \((x + y)\) км. Они встретились через 30 мин, то есть через \(0{,}5\) ч, и за это время вместе проехали все 50 км: \(0{,}5(x + y) = 50\), откуда \(x + y = 100\).

Мотоциклист, выехавший из \(M\), проехал весь путь до \(N\) за \(t_1 = \frac{50}{x}\) ч, а мотоциклист, выехавший из \(N\), весь путь до \(M\) — за \(t_2 = \frac{50}{y}\) ч. Выехали они одновременно, а в \(M\) мотоциклист из \(N\) прибыл на 25 мин раньше, чем мотоциклист из \(M\) в \(N\), поэтому \(t_1 - t_2 = 25\) мин. Поскольку 25 минут — это \(\frac{25}{60} = \frac{5}{12}\) часа, то \(\frac{50}{x} - \frac{50}{y} = \frac{5}{12}\).

Получаем систему уравнений \[\begin{cases} x + y = 100, \\ \frac{50}{x} - \frac{50}{y} = \frac{5}{12}. \end{cases}\] Из первого уравнения системы выразим \(y\) через \(x\): \(y = 100 - x\). Подставим \(100 - x\) вместо \(y\) во второе уравнение системы. Получим уравнение с одной переменной \(\frac{50}{x} - \frac{50}{100 - x} = \frac{5}{12}\).

Скорости \(x\) и \(y = 100 - x\) положительны по смыслу задачи, поэтому значения \(x = 0\) и \(x = 100\), при которых знаменатели дробей обращаются в нуль, не подходят по условию задачи. Умножим обе части уравнения на \(12x(100 - x)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 5: \[\begin{aligned} \frac{50}{x} - \frac{50}{100 - x} &= \frac{5}{12}; \qquad | \cdot 12x(100 - x) \\ 600(100 - x) - 600x &= 5x(100 - x); \\ 60\,000 - 600x - 600x &= 500x - 5x^2; \\ 5x^2 - 1700x + 60\,000 &= 0; \qquad | : 5 \\ x^2 - 340x + 12\,000 &= 0; \\ D &= (-340)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12\,000 = 115\,600 - 48\,000 = 67\,600. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{340 - \sqrt{67\,600}}{2 \cdot 1} = \frac{340 - 260}{2} = 40; \\ x_2 &= \frac{340 + \sqrt{67\,600}}{2 \cdot 1} = \frac{340 + 260}{2} = 300. \end{aligned}\] Соответствующие значения \(y = 100 - x\) равны \(100 - 40 = 60\) и \(100 - 300 = -200\). Таким образом, система имеет два решения: \((40; 60)\) и \((300; -200)\).

Скорость мотоциклиста не может быть отрицательной, поэтому подходит только одно решение: \((40; 60)\). Следовательно, мотоциклист, выехавший из \(M\), ехал со скоростью 40 км/ч, а мотоциклист, выехавший из \(N\), — со скоростью 60 км/ч.

Проверка: за \(0{,}5\) ч мотоциклисты вместе проехали \(0{,}5 \cdot (40 + 60) = 50\) (км); мотоциклист из \(M\) был в пути \(50 : 40 = 1{,}25\) (ч), то есть 75 мин, а мотоциклист из \(N\) — \(50 : 60 = \frac{5}{6}\) (ч), то есть 50 мин, на \(75 - 50 = 25\) (мин) меньше.

Ответ: скорость мотоциклиста, выехавшего из \(M\), — 40 км/ч, выехавшего из \(N\), — 60 км/ч.