Страница 92 номер 383, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.
Пусть первое число равно \(x\), а второе — \(y\), тогда \[\begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 35. \end{cases}\] Из первого уравнения \(y = 12 - x\), подставляем во второе: \[\begin{aligned} x(12 - x) &= 35; \\ 12x - x^2 &= 35; \\ x^2 - 12x + 35 &= 0; \\ D &= (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4; \\ x_1 &= \frac{12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 2}{2} = 5; \\ x_2 &= \frac{12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 2}{2} = 7. \end{aligned}\] Соответствующие значения \(y = 12 - x\): \(12 - 5 = 7\) и \(12 - 7 = 5\). Система имеет два решения: \((5; 7)\) и \((7; 5)\), оба дают числа 5 и 7.
Проверка: \(5 + 7 = 12\), \(5 \cdot 7 = 35\).
Ответ: 5 и 7.
Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.
Пусть первое число равно \(x\), а второе — \(y\). Сумма чисел равна 12, а их произведение равно 35. Получаем систему уравнений \[\begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 35. \end{cases}\] Из первого уравнения системы выразим \(y\) через \(x\): \(y = 12 - x\). Подставим \(12 - x\) вместо \(y\) во второе уравнение системы, раскроем скобки и перенесём все слагаемые в правую часть: \[\begin{aligned} x(12 - x) &= 35; \\ 12x - x^2 &= 35; \\ x^2 - 12x + 35 &= 0; \\ D &= (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 2}{2} = 5; \\ x_2 &= \frac{12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 2}{2} = 7. \end{aligned}\] Соответствующие значения \(y = 12 - x\) равны \(12 - 5 = 7\) и \(12 - 7 = 5\). Таким образом, система имеет два решения: \((5; 7)\) и \((7; 5)\). Оба решения дают одни и те же два числа: 5 и 7.
Проверка: \(5 + 7 = 12\), \(5 \cdot 7 = 35\).
Ответ: 5 и 7.
