Страница 91 номер 374, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Коэффициент при \(x^2\) равен \(2 > 0\) — ветви параболы \(y = 2x^2 - x + 4\) направлены вверх. Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-1}{2 \cdot 2} = 0{,}25; \\ y_0 &= 2 \cdot 0{,}25^2 - 0{,}25 + 4 = 0{,}125 - 0{,}25 + 4 = 3{,}875. \end{aligned}\] Таблица значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 \\ \hline y & 7 & 5 & 4 & 4 & 5 & 7 \\ \hline \end{array}\] Уравнение \(y = \frac{6 - x}{x}\) имеет смысл при \(x \ne 0\), и \(\frac{6 - x}{x} = \frac{6}{x} - 1\), поэтому его график — гипербола \(y = \frac{6}{x}\), сдвинутая на 1 единицу вниз. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & -2 & -3 & -4 & -7 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\] Прямая \(y = x + 4\) проходит через точки \((-4; 0)\) и \((0; 4)\).
а) Парабола \(y = 2x^2 - x + 4\) и прямая \(y = x + 4\) пересекаются в точках \((0; 4)\) и \((1; 5)\).
Проверка:
- при \(x = 0\), \(y = 4\): \(4 = 2 \cdot 0^2 - 0 + 4\) и \(4 = 0 + 4\) — верные равенства;
- при \(x = 1\), \(y = 5\): \(5 = 2 \cdot 1^2 - 1 + 4\) и \(5 = 1 + 4\) — верные равенства.
Других решений нет: после подстановки \(x + 4\) вместо \(y\) в первое уравнение получается квадратное уравнение, а у него не больше двух корней.
б) Парабола \(y = 2x^2 - x + 4\) и гипербола \(y = \frac{6 - x}{x}\) имеют одну общую точку \((1; 5)\).
Проверка: \(5 = 2 \cdot 1^2 - 1 + 4\) и \(5 = \frac{6 - 1}{1}\) — оба уравнения обращаются в верные равенства.
Подставим \(2x^2 - x + 4\) вместо \(y\) во второе уравнение (в решениях системы \(x \ne 0\)): \[\begin{aligned} 2x^2 - x + 4 &= \frac{6 - x}{x}; \qquad | \cdot x \\ 2x^3 - x^2 + 4x &= 6 - x; \\ 2x^3 - x^2 + 5x - 6 &= 0. \end{aligned}\] \(2 \cdot 1^3 - 1^2 + 5 \cdot 1 - 6 = 0\) — число 1 является корнем, поэтому выделим множитель \(x - 1\): \[\begin{aligned} &2x^3 - x^2 + 5x - 6 = 2x^3 - 2x^2 + x^2 - x + 6x - 6 = {} \\ &= 2x^2(x - 1) + x(x - 1) + 6(x - 1) = (x - 1)(2x^2 + x + 6). \end{aligned}\] Оба множителя — многочлены и имеют смысл при любом \(x\). Множитель \(x - 1\) равен нулю при \(x = 1\), а уравнение \(2x^2 + x + 6 = 0\) корней не имеет: его дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 - 48 = -47\) отрицателен. Значит, \(x = 1\) — единственный корень, и система имеет единственное решение \((1; 5)\).
в) Прямая \(y = x + 4\) и гипербола \(y = \frac{6 - x}{x}\) пересекаются в точках \((-6; -2)\) и \((1; 5)\).
Проверка:
- при \(x = -6\), \(y = -2\): \(-2 = -6 + 4\) и \(-2 = \frac{6 - (-6)}{-6}\) — верные равенства;
- при \(x = 1\), \(y = 5\): \(5 = 1 + 4\) и \(5 = \frac{6 - 1}{1}\) — верные равенства.
Других решений нет: после подстановки \(x + 4\) вместо \(y\) во второе уравнение и умножения обеих частей на \(x \ne 0\) получается квадратное уравнение \(x^2 + 4x = 6 - x\), то есть \(x^2 + 5x - 6 = 0\), а у него не больше двух корней.
г) Решение системы из трёх уравнений удовлетворяет каждому из них, поэтому является и решением системы б). Единственное решение системы б) — пара \((1; 5)\), и она удовлетворяет уравнению \(y = x + 4\): \(5 = 1 + 4\). Значит, система имеет единственное решение \((1; 5)\) — это единственная общая точка всех трёх графиков. Пара \((0; 4)\) — решение системы а), но не этой системы: при \(x = 0\) выражение \(\frac{6 - x}{x}\) не имеет смысла.
Ответ: а) \((0; 4)\); \((1; 5)\); б) \((1; 5)\); в) \((-6; -2)\); \((1; 5)\); г) \((1; 5)\).
Построим графики трёх уравнений в одной системе координат.
Графиком уравнения \(y = 2x^2 - x + 4\) является парабола. Коэффициент при \(x^2\) равен \(2 > 0\), поэтому её ветви направлены вверх. Абсцисса вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) равна \(-\frac{b}{2a}\), ордината вершины — значение функции в этой точке: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-1}{2 \cdot 2} = 0{,}25; \\ y_0 &= 2 \cdot 0{,}25^2 - 0{,}25 + 4 = 0{,}125 - 0{,}25 + 4 = 3{,}875. \end{aligned}\] Составим таблицу значений; значения \(x\) возьмём попарно симметричными относительно оси параболы — прямой \(x = 0{,}25\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 \\ \hline y & 7 & 5 & 4 & 4 & 5 & 7 \\ \hline \end{array}\] Уравнение \(y = \frac{6 - x}{x}\) имеет смысл при \(x \ne 0\). Так как \(\frac{6 - x}{x} = \frac{6}{x} - 1\), его график — гипербола \(y = \frac{6}{x}\), сдвинутая на 1 единицу вниз; её ветви лежат по разные стороны от оси \(y\). Составим таблицу значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & -2 & -3 & -4 & -7 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\] Графиком уравнения \(y = x + 4\) является прямая, проходящая через точки \((-4; 0)\) и \((0; 4)\).
а) Парабола \(y = 2x^2 - x + 4\) и прямая \(y = x + 4\) пересекаются в точках \((0; 4)\) и \((1; 5)\). Сделаем проверку:
- при \(x = 0\), \(y = 4\) равенства \(y = 2x^2 - x + 4\) и \(y = x + 4\) превращаются в верные равенства \(4 = 2 \cdot 0^2 - 0 + 4\) и \(4 = 0 + 4\);
- при \(x = 1\), \(y = 5\) — в верные равенства \(5 = 2 \cdot 1^2 - 1 + 4\) и \(5 = 1 + 4\).
Других решений система не имеет: парабола и прямая могут пересекаться не больше чем в двух точках. Действительно, если подставить \(x + 4\) вместо \(y\) в первое уравнение, получится квадратное уравнение относительно \(x\), а оно имеет не больше двух корней.
б) Парабола \(y = 2x^2 - x + 4\) и гипербола \(y = \frac{6 - x}{x}\) имеют одну общую точку \((1; 5)\). Проверка: при \(x = 1\), \(y = 5\) равенства \(y = 2x^2 - x + 4\) и \(y = \frac{6 - x}{x}\) превращаются в верные равенства \(5 = 2 \cdot 1^2 - 1 + 4\) и \(5 = \frac{6 - 1}{1}\).
Убедимся, что других решений нет. Подставим \(2x^2 - x + 4\) вместо \(y\) во второе уравнение и умножим обе его части на \(x\) — в решениях системы \(x \ne 0\): \[\begin{aligned} 2x^2 - x + 4 &= \frac{6 - x}{x}; \qquad | \cdot x \\ 2x^3 - x^2 + 4x &= 6 - x; \\ 2x^3 - x^2 + 5x - 6 &= 0. \end{aligned}\] Абсцисса найденной точки, число 1, — корень этого уравнения: \(2 \cdot 1^3 - 1^2 + 5 \cdot 1 - 6 = 0\). Разложим левую часть на множители, выделив множитель \(x - 1\): \[\begin{aligned} &2x^3 - x^2 + 5x - 6 = 2x^3 - 2x^2 + x^2 - x + 6x - 6 = {} \\ &= 2x^2(x - 1) + x(x - 1) + 6(x - 1) = (x - 1)(2x^2 + x + 6). \end{aligned}\] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю; оба множителя — многочлены и имеют смысл при любом \(x\). Множитель \(x - 1\) равен нулю при \(x = 1\), а уравнение \(2x^2 + x + 6 = 0\) корней не имеет: его дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 - 48 = -47\) отрицателен. Значит, \(x = 1\) — единственный корень, и система имеет единственное решение \((1; 5)\).
в) Прямая \(y = x + 4\) и гипербола \(y = \frac{6 - x}{x}\) пересекаются в точках \((-6; -2)\) и \((1; 5)\). Сделаем проверку:
- при \(x = -6\), \(y = -2\) равенства \(y = x + 4\) и \(y = \frac{6 - x}{x}\) превращаются в верные равенства \(-2 = -6 + 4\) и \(-2 = \frac{6 - (-6)}{-6}\);
- при \(x = 1\), \(y = 5\) — в верные равенства \(5 = 1 + 4\) и \(5 = \frac{6 - 1}{1}\).
Других решений система не имеет: если подставить \(x + 4\) вместо \(y\) во второе уравнение и умножить обе его части на \(x \ne 0\), получится квадратное уравнение \(x^2 + 4x = 6 - x\), то есть \(x^2 + 5x - 6 = 0\), а оно имеет не больше двух корней.
г) Решение системы из трёх уравнений удовлетворяет каждому из них, поэтому оно является и решением системы б). Единственное решение системы б) — пара \((1; 5)\), и она удовлетворяет оставшемуся уравнению \(y = x + 4\): \(5 = 1 + 4\). Значит, система имеет единственное решение \((1; 5)\) — это единственная общая точка всех трёх графиков. Пара \((0; 4)\) — решение системы а), но не решение этой системы: при \(x = 0\) выражение \(\frac{6 - x}{x}\) не имеет смысла.
Ответ: а) \((0; 4)\); \((1; 5)\); б) \((1; 5)\); в) \((-6; -2)\); \((1; 5)\); г) \((1; 5)\).
