Страница 91 номер 372, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите графическим способом систему уравнений: а) \(\begin{cases}y = -x^2 - 4x - 1, \\ y = x + 3;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}xy = -2, \\ x = -2y.\end{cases}\)
а) Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\) — ветви параболы \(y = -x^2 - 4x - 1\) направлены вниз. Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2; \\ y_0 &= -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3. \end{aligned}\] Таблица значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & -1 & 2 & 3 & 2 & -1 \\ \hline \end{array}\] Прямая \(y = x + 3\) проходит через точки \((-3; 0)\) и \((0; 3)\).
Графики пересекаются в двух точках: \((-4; -1)\) и \((-1; 2)\).
Проверка:
- при \(x = -4\), \(y = -1\): \(-1 = -(-4)^2 - 4 \cdot (-4) - 1\) и \(-1 = -4 + 3\) — верные равенства;
- при \(x = -1\), \(y = 2\): \(2 = -(-1)^2 - 4 \cdot (-1) - 1\) и \(2 = -1 + 3\) — верные равенства.
Других решений нет: после подстановки \(x + 3\) вместо \(y\) в первое уравнение получается квадратное уравнение, а у него не больше двух корней.
б) Если \(x = 0\), то \(xy = 0 \ne -2\), поэтому в решениях системы \(x \ne 0\) и \(y = \frac{-2}{x}\). Это обратная пропорциональность, \(k = -2 < 0\), поэтому график — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0{,}5 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & -4 & -2 & -1 & -0{,}5 \\ \hline \end{array}\] Вторая ветвь симметрична первой относительно начала координат: ей принадлежат точки \((-0{,}5; 4)\), \((-1; 2)\), \((-2; 1)\), \((-4; 0{,}5)\). Из уравнения \(x = -2y\) получаем \(y = -0{,}5x\) — прямая, проходящая через точки \((0; 0)\) и \((4; -2)\).
Графики пересекаются в двух точках: \((-2; 1)\) и \((2; -1)\).
Проверка:
- при \(x = -2\), \(y = 1\): \(-2 \cdot 1 = -2\) и \(-2 = -2 \cdot 1\) — верные равенства;
- при \(x = 2\), \(y = -1\): \(2 \cdot (-1) = -2\) и \(2 = -2 \cdot (-1)\) — верные равенства.
Других решений нет: после подстановки \(-2y\) вместо \(x\) в первое уравнение получается квадратное уравнение \(-2y^2 = -2\), у него не больше двух корней, а каждому значению \(y\) соответствует единственное значение \(x = -2y\).
Ответ: а) \((-4; -1)\); \((-1; 2)\); б) \((-2; 1)\); \((2; -1)\).
Решите графическим способом систему уравнений: а) \(\begin{cases}y = -x^2 - 4x - 1, \\ y = x + 3;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}xy = -2, \\ x = -2y.\end{cases}\)
а) Графиком первого уравнения системы является парабола \(y = -x^2 - 4x - 1\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\), поэтому её ветви направлены вниз. Абсцисса вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) равна \(-\frac{b}{2a}\), ордината вершины — значение функции в этой точке: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2; \\ y_0 &= -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3. \end{aligned}\] Составим таблицу значений функции; значения \(x\) возьмём попарно симметричными относительно оси параболы — прямой \(x = -2\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & -1 & 2 & 3 & 2 & -1 \\ \hline \end{array}\] Графиком второго уравнения является прямая \(y = x + 3\); она проходит через точки \((-3; 0)\) и \((0; 3)\). Построим оба графика в одной системе координат:
Графики пересекаются в двух точках: \((-4; -1)\) и \((-1; 2)\). Сделаем проверку:
- при \(x = -4\), \(y = -1\) равенства \(y = -x^2 - 4x - 1\) и \(y = x + 3\) превращаются в верные равенства \(-1 = -(-4)^2 - 4 \cdot (-4) - 1\) и \(-1 = -4 + 3\);
- при \(x = -1\), \(y = 2\) — в верные равенства \(2 = -(-1)^2 - 4 \cdot (-1) - 1\) и \(2 = -1 + 3\).
Других решений система не имеет: парабола и прямая могут пересекаться не больше чем в двух точках. Действительно, если подставить \(x + 3\) вместо \(y\) в первое уравнение, получится квадратное уравнение относительно \(x\), а оно имеет не больше двух корней.
б) Если \(x = 0\), то \(xy = 0 \ne -2\), поэтому в решениях системы \(x \ne 0\) и уравнение \(xy = -2\) можно записать в виде \(y = \frac{-2}{x}\). Это обратная пропорциональность с коэффициентом \(k = -2 < 0\), её график — гипербола, ветви которой лежат во II и IV координатных четвертях. Составим таблицу для нескольких положительных значений \(x\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0{,}5 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & -4 & -2 & -1 & -0{,}5 \\ \hline \end{array}\] Вторая ветвь симметрична первой относительно начала координат: ей принадлежат точки \((-0{,}5; 4)\), \((-1; 2)\), \((-2; 1)\), \((-4; 0{,}5)\). Из уравнения \(x = -2y\) получаем \(y = -0{,}5x\) — это прямая, проходящая через точки \((0; 0)\) и \((4; -2)\). Построим оба графика в одной системе координат:
Графики пересекаются в двух точках: \((-2; 1)\) и \((2; -1)\). Сделаем проверку:
- при \(x = -2\), \(y = 1\) равенства \(xy = -2\) и \(x = -2y\) превращаются в верные равенства \(-2 \cdot 1 = -2\) и \(-2 = -2 \cdot 1\);
- при \(x = 2\), \(y = -1\) — в верные равенства \(2 \cdot (-1) = -2\) и \(2 = -2 \cdot (-1)\).
Других решений система не имеет: если подставить \(-2y\) вместо \(x\) в первое уравнение, получится квадратное уравнение \(-2y^2 = -2\), которое имеет не больше двух корней, а каждому значению \(y\) соответствует единственное значение \(x = -2y\).
Ответ: а) \((-4; -1)\); \((-1; 2)\); б) \((-2; 1)\); \((2; -1)\).
