Страница 91 номер 371, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Используя графический способ, найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \(\begin{cases}y = a, \\ y = (x-1)^2\end{cases}\): а) имеет единственное решение; б) не имеет решений; в) имеет более одного решения.
Парабола \(y = (x - 1)^2\) получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 1 единицу вправо; вершина — точка \((1; 0)\), ветви направлены вверх. Прямая \(y = a\) параллельна оси \(x\) (при \(a = 0\) — сама ось \(x\)).
Выражение \((x - 1)^2\) принимает только неотрицательные значения, а значение 0 — только при \(x = 1\), поэтому вершина \((1; 0)\) — самая низкая точка параболы. Значит:
- при \(a < 0\) прямая \(y = a\) проходит ниже параболы и не имеет с ней общих точек — система не имеет решений;
- при \(a = 0\) прямая \(y = 0\) (ось \(x\)) имеет с параболой единственную общую точку \((1; 0)\) — система имеет единственное решение;
- при \(a > 0\) прямая \(y = a\) пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно прямой \(x = 1\), — система имеет два решения, то есть больше одного.
Проверка: подставив \(a\) вместо \(y\) во второе уравнение, получим \((x - 1)^2 = a\):
- при \(a < 0\) корней нет: квадрат числа не может быть отрицательным;
- при \(a = 0\) имеем \(x - 1 = 0\), откуда \(x = 1\) — корень единственный;
- при \(a > 0\) имеем \(x - 1 = -\sqrt{a}\) или \(x - 1 = \sqrt{a}\), то есть два корня: \(x = 1 - \sqrt{a}\) и \(x = 1 + \sqrt{a}\).
Каждому корню соответствует одно решение системы \((x; a)\).
Ответ: а) при \(a = 0\); б) при \(a < 0\); в) при \(a > 0\).
Используя графический способ, найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \(\begin{cases}y = a, \\ y = (x-1)^2\end{cases}\): а) имеет единственное решение; б) не имеет решений; в) имеет более одного решения.
Графиком уравнения \(y = (x - 1)^2\) является парабола с вершиной в точке \((1; 0)\) и ветвями, направленными вверх: она получается сдвигом параболы \(y = x^2\) на 1 единицу вправо. Графиком уравнения \(y = a\) при любом значении \(a\) является прямая, параллельная оси \(x\) (при \(a = 0\) — сама ось \(x\)). Число решений системы равно числу общих точек этих графиков. Построим параболу и прямые \(y = a\) при положительном и при отрицательном значении \(a\):
Все значения выражения \((x - 1)^2\) неотрицательны, а значение 0 оно принимает только при \(x = 1\), поэтому вершина \((1; 0)\) — самая низкая точка параболы. Значит:
- при \(a < 0\) прямая \(y = a\) проходит ниже параболы и не имеет с ней общих точек — система не имеет решений;
- при \(a = 0\) прямая \(y = 0\), то есть ось \(x\), имеет с параболой единственную общую точку — вершину \((1; 0)\), и система имеет единственное решение;
- при \(a > 0\) прямая \(y = a\) пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси параболы — прямой \(x = 1\), и система имеет два решения.
Проверим это подстановкой. Подставив \(a\) вместо \(y\) во второе уравнение системы, получим уравнение \((x - 1)^2 = a\). При \(a < 0\) оно не имеет корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. При \(a = 0\) имеем \(x - 1 = 0\), откуда \(x = 1\) — корень единственный. При \(a > 0\) получаем \(x - 1 = -\sqrt{a}\) или \(x - 1 = \sqrt{a}\), то есть два корня: \(x = 1 - \sqrt{a}\) и \(x = 1 + \sqrt{a}\). Каждому корню соответствует одно решение системы \((x; a)\). Следовательно, система имеет единственное решение при \(a = 0\), не имеет решений при \(a < 0\) и имеет два решения, то есть больше одного, при \(a > 0\).
Ответ: а) при \(a = 0\); б) при \(a < 0\); в) при \(a > 0\).
