Страница 91 номер 369, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите графическим способом систему уравнений: а) \(\begin{cases}y = x^2, \\ x + y = 6;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}xy = 8, \\ x = 2y.\end{cases}\)
а) График уравнения \(y = x^2\) — парабола с вершиной в точке \((0; 0)\), ветви направлены вверх. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}\] Из уравнения \(x + y = 6\) получаем \(y = 6 - x\) — прямая, проходящая через точки \((0; 6)\) и \((6; 0)\).
Графики пересекаются в двух точках: \((-3; 9)\) и \((2; 4)\).
Проверка:
- при \(x = -3\), \(y = 9\): \(9 = (-3)^2\) и \(-3 + 9 = 6\) — верные равенства;
- при \(x = 2\), \(y = 4\): \(4 = 2^2\) и \(2 + 4 = 6\) — верные равенства.
Других решений нет: после подстановки \(6 - x\) вместо \(y\) в первое уравнение получается квадратное уравнение, а у него не больше двух корней.
б) Если \(x = 0\), то \(xy = 0 \ne 8\), поэтому в решениях системы \(x \ne 0\) и \(y = \frac{8}{x}\). Это обратная пропорциональность, \(k = 8 > 0\), поэтому график — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline y & 8 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] Вторая ветвь симметрична первой относительно начала координат: ей принадлежат точки \((-1; -8)\), \((-2; -4)\), \((-4; -2)\), \((-8; -1)\). Из уравнения \(x = 2y\) получаем \(y = 0{,}5x\) — прямая, проходящая через точки \((0; 0)\) и \((2; 1)\).
Графики пересекаются в двух точках: \((-4; -2)\) и \((4; 2)\).
Проверка:
- при \(x = -4\), \(y = -2\): \((-4) \cdot (-2) = 8\) и \(-4 = 2 \cdot (-2)\) — верные равенства;
- при \(x = 4\), \(y = 2\): \(4 \cdot 2 = 8\) и \(4 = 2 \cdot 2\) — верные равенства.
Других решений нет: после подстановки \(2y\) вместо \(x\) в первое уравнение получается квадратное уравнение \(2y^2 = 8\), у него не больше двух корней, а каждому значению \(y\) соответствует единственное значение \(x = 2y\).
Ответ: а) \((-3; 9)\); \((2; 4)\); б) \((-4; -2)\); \((4; 2)\).
Решите графическим способом систему уравнений: а) \(\begin{cases}y = x^2, \\ x + y = 6;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}xy = 8, \\ x = 2y.\end{cases}\)
а) Графиком уравнения \(y = x^2\) является парабола с вершиной в точке \((0; 0)\) и ветвями, направленными вверх. Составим таблицу значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}\] Из уравнения \(x + y = 6\) выразим \(y\) через \(x\): \(y = 6 - x\). Его график — прямая, проходящая через точки \((0; 6)\) и \((6; 0)\). Построим оба графика в одной системе координат:
Графики пересекаются в двух точках: \((-3; 9)\) и \((2; 4)\). Сделаем проверку:
- при \(x = -3\), \(y = 9\) равенства \(y = x^2\) и \(x + y = 6\) превращаются в верные равенства \(9 = (-3)^2\) и \(-3 + 9 = 6\);
- при \(x = 2\), \(y = 4\) — в верные равенства \(4 = 2^2\) и \(2 + 4 = 6\).
Других решений система не имеет: парабола и прямая могут пересекаться не больше чем в двух точках. Действительно, если подставить \(6 - x\) вместо \(y\) в первое уравнение, получится квадратное уравнение относительно \(x\), а оно имеет не больше двух корней.
б) Если \(x = 0\), то \(xy = 0 \ne 8\), поэтому в решениях системы \(x \ne 0\) и уравнение \(xy = 8\) можно записать в виде \(y = \frac{8}{x}\). Это обратная пропорциональность с коэффициентом \(k = 8 > 0\), её график — гипербола, ветви которой лежат в I и III координатных четвертях. Составим таблицу для нескольких положительных значений \(x\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline y & 8 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] Вторая ветвь симметрична первой относительно начала координат: ей принадлежат точки \((-1; -8)\), \((-2; -4)\), \((-4; -2)\), \((-8; -1)\). Из уравнения \(x = 2y\) получаем \(y = 0{,}5x\) — это прямая, проходящая через точки \((0; 0)\) и \((2; 1)\). Построим оба графика в одной системе координат:
Графики пересекаются в двух точках: \((-4; -2)\) и \((4; 2)\). Сделаем проверку:
- при \(x = -4\), \(y = -2\) равенства \(xy = 8\) и \(x = 2y\) превращаются в верные равенства \((-4) \cdot (-2) = 8\) и \(-4 = 2 \cdot (-2)\);
- при \(x = 4\), \(y = 2\) — в верные равенства \(4 \cdot 2 = 8\) и \(4 = 2 \cdot 2\).
Других решений система не имеет: если подставить \(2y\) вместо \(x\) в первое уравнение, получится квадратное уравнение \(2y^2 = 8\), которое имеет не больше двух корней, а каждому значению \(y\) соответствует единственное значение \(x = 2y\).
Ответ: а) \((-3; 9)\); \((2; 4)\); б) \((-4; -2)\); \((4; 2)\).
