Страница 90 номер 368, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Построив графики функций \(y = x + 1\) и \(y = x^2 + 3x - 2\), решите систему уравнений \(\begin{cases}y = x^2 + 3x - 2, \\ y = x + 1.\end{cases}\)
Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\) — ветви параболы \(y = x^2 + 3x - 2\) направлены вверх. Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5; \\ y_0 &= (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) - 2 = 2{,}25 - 4{,}5 - 2 = -4{,}25. \end{aligned}\] Таблица значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 2 & -2 & -4 & -4 & -2 & 2 \\ \hline \end{array}\] Прямая \(y = x + 1\) проходит через точки \((-1; 0)\) и \((0; 1)\).
Графики пересекаются в двух точках: \((-3; -2)\) и \((1; 2)\).
Проверка:
- при \(x = -3\), \(y = -2\): \(-2 = (-3)^2 + 3 \cdot (-3) - 2\) и \(-2 = -3 + 1\) — верные равенства;
- при \(x = 1\), \(y = 2\): \(2 = 1^2 + 3 \cdot 1 - 2\) и \(2 = 1 + 1\) — верные равенства.
Других решений нет: после подстановки \(x + 1\) вместо \(y\) в первое уравнение получается квадратное уравнение, а у него не больше двух корней.
Ответ: \((-3; -2)\); \((1; 2)\).
Построив графики функций \(y = x + 1\) и \(y = x^2 + 3x - 2\), решите систему уравнений \(\begin{cases}y = x^2 + 3x - 2, \\ y = x + 1.\end{cases}\)
Графиком первого уравнения системы является парабола \(y = x^2 + 3x - 2\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому её ветви направлены вверх. Абсцисса вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) равна \(-\frac{b}{2a}\), ордината вершины — значение функции в этой точке: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5; \\ y_0 &= (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) - 2 = 2{,}25 - 4{,}5 - 2 = -4{,}25. \end{aligned}\] Составим таблицу значений функции; значения \(x\) возьмём попарно симметричными относительно оси параболы — прямой \(x = -1{,}5\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 2 & -2 & -4 & -4 & -2 & 2 \\ \hline \end{array}\] Графиком второго уравнения является прямая \(y = x + 1\); она проходит через точки \((-1; 0)\) и \((0; 1)\). Построим оба графика в одной системе координат:
Графики пересекаются в двух точках: \((-3; -2)\) и \((1; 2)\). Сделаем проверку, чтобы убедиться, что координаты этих точек являются решениями системы:
- при \(x = -3\), \(y = -2\) равенства \(y = x^2 + 3x - 2\) и \(y = x + 1\) превращаются в верные равенства \(-2 = (-3)^2 + 3 \cdot (-3) - 2\) и \(-2 = -3 + 1\);
- при \(x = 1\), \(y = 2\) — в верные равенства \(2 = 1^2 + 3 \cdot 1 - 2\) и \(2 = 1 + 1\).
Других решений система не имеет: парабола и прямая могут пересекаться не больше чем в двух точках. Действительно, если подставить \(x + 1\) вместо \(y\) в первое уравнение системы, получится квадратное уравнение относительно \(x\), а оно имеет не больше двух корней.
Ответ: \((-3; -2)\); \((1; 2)\).
