Страница 85 номер 345, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Равносильны ли системы уравнений \(\begin{cases}xy = 2x,\\ x - y = 20\end{cases}\) и \(\begin{cases}y = 2,\\ x = y + 20?\end{cases}\)
Во второй системе \(y = 2\), \(x = 2 + 20 = 22\) — единственное решение \((22; 2)\).
В первой системе \(xy - 2x = 0\);
\(x(y - 2) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(y = 2\).
Если \(x = 0\), то \(-y = 20\), \(y = -20\) — пара \((0; -20)\).
Если \(y = 2\), то \(x - 2 = 20\), \(x = 22\) — пара \((22; 2)\).
Значит, первая система имеет два решения: \((0; -20)\) и \((22; 2)\); пара \((0; -20)\) не является решением второй системы, так как во второй системе \(y = 2\). Множества решений не совпадают, поэтому системы не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны: первая система имеет решения \((0; -20)\) и \((22; 2)\), а вторая — только \((22; 2)\).
Равносильны ли системы уравнений \(\begin{cases}xy = 2x,\\ x - y = 20\end{cases}\) и \(\begin{cases}y = 2,\\ x = y + 20?\end{cases}\)
Системы уравнений называют равносильными, если множества их решений совпадают: каждое решение одной системы является решением другой, и наоборот. Найдём решения каждой системы.
Во второй системе \(y = 2\), и из уравнения \(x = y + 20\) получим: \(x = 2 + 20 = 22\). Значит, вторая система имеет единственное решение \((22; 2)\).
В первом уравнении первой системы перенесём \(2x\) в левую часть и вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \(xy - 2x = 0\);
\(x(y - 2) = 0\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей; оба множителя — многочлены и имеют смысл при любых \(x\) и \(y\). Поэтому \(x = 0\) или \(y = 2\).
Если \(x = 0\), то уравнение \(x - y = 20\) примет вид \(-y = 20\), откуда \(y = -20\). Получаем пару \((0; -20)\).
Если \(y = 2\), то уравнение \(x - y = 20\) примет вид \(x - 2 = 20\), откуда \(x = 22\). Получаем пару \((22; 2)\).
Значит, первая система имеет два решения: \((0; -20)\) и \((22; 2)\). Пара \((0; -20)\) является решением первой системы, но не является решением второй, так как во второй системе \(y = 2\). Множества решений систем не совпадают, поэтому системы не равносильны. Вторая система получается из первой, если разделить обе части уравнения \(xy = 2x\) на \(x\) и выразить \(x\) из уравнения \(x - y = 20\); при делении на \(x\) теряется решение \((0; -20)\), у которого \(x = 0\).
Ответ: нет, не равносильны: первая система имеет решения \((0; -20)\) и \((22; 2)\), а вторая — только \((22; 2)\).
