Страница 85 номер 344, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему уравнений: а) \(\begin{cases}3x^2y = 1,\\ 3xy^2 = 9;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x^2 + xy + 3y = 5,\\ x^2 + xy + 6y = 8.\end{cases}\)
а) При \(x = 0\) левая часть первого уравнения равна нулю, а правая — 1, поэтому \(x \neq 0\).
Из первого уравнения \(y = \frac{1}{3x^2}\); подставим во второе и сократим дробь на \(3x \neq 0\): \[\begin{aligned} 3x \cdot \left(\frac{1}{3x^2}\right)^2 &= 9; \\ \frac{3x}{9x^4} &= 9; \\ \frac{1}{3x^3} &= 9; \\ 3x^3 &= \frac{1}{9}; \qquad | : 3 \\ x^3 &= \frac{1}{27}. \end{aligned}\] Функция \(f(x) = x^3\) возрастает, поэтому уравнение \(x^3 = \frac{1}{27}\) имеет ровно один корень — \(x = \frac{1}{3}\), так как \(\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}\).
При \(x = \frac{1}{3}\): \(3x^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}\), \(y = 1 : \frac{1}{3} = 3\).
Значит, система имеет единственное решение \(\left(\frac{1}{3}; 3\right)\).
б) Вычтем первое уравнение из второго: \[\begin{aligned} (x^2 + xy + 6y) - (x^2 + xy + 3y) &= 8 - 5; \\ 3y &= 3; \\ y &= 1. \end{aligned}\] При \(y = 1\) первое уравнение примет вид \(x^2 + x + 3 = 5\), то есть \(x^2 + x - 2 = 0\). \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, система имеет два решения: \((-2; 1)\) и \((1; 1)\).
Ответ: а) \(\left(\frac{1}{3}; 3\right)\); б) \((-2; 1)\); \((1; 1)\).
Решите систему уравнений: а) \(\begin{cases}3x^2y = 1,\\ 3xy^2 = 9;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x^2 + xy + 3y = 5,\\ x^2 + xy + 6y = 8.\end{cases}\)
а) Решим систему уравнений способом подстановки. При \(x = 0\) левая часть первого уравнения равна нулю при любом \(y\), а правая равна 1, поэтому \(x \neq 0\). Из первого уравнения системы выразим \(y\) через \(x\): \(y = \frac{1}{3x^2}\). Подставим \(\frac{1}{3x^2}\) вместо \(y\) во второе уравнение системы и сократим дробь на \(3x\) (это выражение не равно нулю, так как \(x \neq 0\)): \[\begin{aligned} 3x \cdot \left(\frac{1}{3x^2}\right)^2 &= 9; \\ \frac{3x}{9x^4} &= 9; \\ \frac{1}{3x^3} &= 9. \end{aligned}\] Числа \(\frac{1}{3x^3}\) и 9 равны, поэтому равны и обратные им числа. Разделим обе части получившегося равенства на 3: \[\begin{aligned} 3x^3 &= \frac{1}{9}; \qquad | : 3 \\ x^3 &= \frac{1}{27}. \end{aligned}\] Функция \(f(x) = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение \(x^3 = \frac{1}{27}\) имеет ровно один корень \(x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}\). Так как \(\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}\), то \(x = \frac{1}{3}\).
Найдём соответствующее значение \(y\) по формуле \(y = \frac{1}{3x^2}\). При \(x = \frac{1}{3}\) получим: \(3x^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}\), \(y = 1 : \frac{1}{3} = 3\). Значит, система имеет единственное решение \(\left(\frac{1}{3}; 3\right)\).
б) Вычтем первое уравнение из второго: \[\begin{aligned} (x^2 + xy + 6y) - (x^2 + xy + 3y) &= 8 - 5; \\ 3y &= 3; \\ y &= 1. \end{aligned}\] При \(y = 1\) уравнение \(x^2 + xy + 3y = 5\) примет вид \(x^2 + x + 3 = 5\), то есть \(x^2 + x - 2 = 0\). Найдём корни этого квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, система имеет два решения: \((-2; 1)\) и \((1; 1)\).
Ответ: а) \(\left(\frac{1}{3}; 3\right)\); б) \((-2; 1)\); \((1; 1)\).
