Страница 85 номер 343, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему уравнений: а) \(\begin{cases}xy = 3y^2,\\ 9x^2 - 16xy + 15y^2 = 0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}a(x + y)(x - 2) = 0,\\ (5x - 6y + 2)(x + 5) = 0.\end{cases}\)
а) \(xy - 3y^2 = 0\);
\(y(x - 3y) = 0\), откуда \(y = 0\) или \(x = 3y\).
Если \(y = 0\), то второе уравнение примет вид \(9x^2 = 0\), откуда \(x = 0\) — пара \((0; 0)\).
Если \(x = 3y\), то из второго уравнения: \[\begin{aligned} 9 \cdot (3y)^2 - 16 \cdot 3y \cdot y + 15y^2 &= 0; \\ 81y^2 - 48y^2 + 15y^2 &= 0; \\ 48y^2 &= 0. \end{aligned}\] Значит, \(y = 0\), и тогда \(x = 3 \cdot 0 = 0\) — снова пара \((0; 0)\). Следовательно, система имеет единственное решение \((0; 0)\).
б) Пусть \(a \neq 0\).
\[\begin{aligned} a(x + y)(x - 2) &= 0; \qquad | : a \\ (x + y)(x - 2) &= 0. \end{aligned}\]
Отсюда \(x + y = 0\) или \(x - 2 = 0\), а из второго уравнения \(5x - 6y + 2 = 0\) или \(x + 5 = 0\). Возможны четыре случая.
- \(x + y = 0\) и \(5x - 6y + 2 = 0\): \(y = -x\);
\(5x + 6x + 2 = 0\);
\(11x = -2\);
\(x = -\frac{2}{11}\);
\(y = \frac{2}{11}\) — пара \(\left(-\frac{2}{11}; \frac{2}{11}\right)\).
- \(x + y = 0\) и \(x + 5 = 0\): \(x = -5\), \(y = -x = 5\) — пара \((-5; 5)\).
- \(x - 2 = 0\) и \(5x - 6y + 2 = 0\): \(x = 2\), \(10 - 6y + 2 = 0\), \(6y = 12\), \(y = 2\) — пара \((2; 2)\).
- \(x - 2 = 0\) и \(x + 5 = 0\) — невозможно: число \(x\) не может одновременно равняться 2 и \(-5\).
Значит, при \(a \neq 0\) система имеет три решения: \((-5; 5)\), \(\left(-\frac{2}{11}; \frac{2}{11}\right)\) и \((2; 2)\).
Пусть \(a = 0\). Тогда первое уравнение обращается в верное равенство \(0 = 0\) при любых \(x\) и \(y\), и решения системы — все решения второго уравнения, среди них все пары \((-5; y)\) при любом \(y\); значит, решений бесконечно много.
Ответ: а) \((0; 0)\); б) при \(a \neq 0\) — \((-5; 5)\); \(\left(-\frac{2}{11}; \frac{2}{11}\right)\); \((2; 2)\); при \(a = 0\) — бесконечно много решений.
Решите систему уравнений: а) \(\begin{cases}xy = 3y^2,\\ 9x^2 - 16xy + 15y^2 = 0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}a(x + y)(x - 2) = 0,\\ (5x - 6y + 2)(x + 5) = 0.\end{cases}\)
а) Перенесём \(3y^2\) в левую часть первого уравнения и вынесем общий множитель \(y\) за скобки: \(xy - 3y^2 = 0\);
\(y(x - 3y) = 0\). Обе части уравнения на \(y\) не делим: при таком делении потерялись бы решения, у которых \(y = 0\).
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей; оба множителя — многочлены и имеют смысл при любых \(x\) и \(y\). Поэтому первое уравнение выполняется тогда и только тогда, когда \(y = 0\) или \(x = 3y\). Рассмотрим оба случая.
Если \(y = 0\), то второе уравнение системы примет вид \(9x^2 = 0\), откуда \(x = 0\). Получаем пару \((0; 0)\).
Пусть \(x = 3y\). Подставим \(3y\) вместо \(x\) во второе уравнение системы: \[\begin{aligned} 9 \cdot (3y)^2 - 16 \cdot 3y \cdot y + 15y^2 &= 0; \\ 81y^2 - 48y^2 + 15y^2 &= 0; \\ 48y^2 &= 0. \end{aligned}\] Значит, \(y = 0\), и тогда \(x = 3 \cdot 0 = 0\) — снова пара \((0; 0)\). Следовательно, система имеет единственное решение \((0; 0)\).
б) Значение \(a\) в условии не указано, поэтому рассмотрим два случая: \(a \neq 0\) и \(a = 0\).
Пусть \(a \neq 0\). Разделим обе части первого уравнения на \(a\):
\[\begin{aligned} a(x + y)(x - 2) &= 0; \qquad | : a \\ (x + y)(x - 2) &= 0. \end{aligned}\]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей; все множители в обоих уравнениях — многочлены и имеют смысл при любых \(x\) и \(y\). Поэтому первое уравнение выполняется тогда и только тогда, когда \(x + y = 0\) или \(x - 2 = 0\), а второе — когда \(5x - 6y + 2 = 0\) или \(x + 5 = 0\). Пара чисел является решением системы тогда и только тогда, когда для неё выполняется хотя бы одно из равенств \(x + y = 0\), \(x - 2 = 0\) и хотя бы одно из равенств \(5x - 6y + 2 = 0\), \(x + 5 = 0\). Возможны четыре случая.
- \(x + y = 0\) и \(5x - 6y + 2 = 0\). Из первого равенства \(y = -x\); подставим \(-x\) вместо \(y\) во второе: \(5x + 6x + 2 = 0\);
\(11x = -2\);
\(x = -\frac{2}{11}\). Тогда \(y = \frac{2}{11}\) — получаем пару \(\left(-\frac{2}{11}; \frac{2}{11}\right)\).
- \(x + y = 0\) и \(x + 5 = 0\). Тогда \(x = -5\), \(y = -x = 5\) — получаем пару \((-5; 5)\).
- \(x - 2 = 0\) и \(5x - 6y + 2 = 0\). Тогда \(x = 2\), и второе равенство примет вид \(10 - 6y + 2 = 0\), откуда \(6y = 12\), \(y = 2\) — получаем пару \((2; 2)\).
- \(x - 2 = 0\) и \(x + 5 = 0\). Такого быть не может: число \(x\) не может одновременно равняться 2 и \(-5\).
Значит, при \(a \neq 0\) система имеет три решения: \((-5; 5)\), \(\left(-\frac{2}{11}; \frac{2}{11}\right)\) и \((2; 2)\).
Пусть \(a = 0\). Тогда первое уравнение обращается в верное равенство \(0 = 0\) при любых \(x\) и \(y\), поэтому решения системы — все решения второго уравнения; среди них, например, все пары \((-5; y)\) при любом \(y\), значит, решений бесконечно много.
Ответ: а) \((0; 0)\); б) при \(a \neq 0\) — \((-5; 5)\); \(\left(-\frac{2}{11}; \frac{2}{11}\right)\); \((2; 2)\); при \(a = 0\) — бесконечно много решений.
