Страница 85 номер 342, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему уравнений: а) \(\begin{cases}5x - 2y = 6,\\ 4y^2 - 2xy = x^2 + 4;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}5x - 2y = 6,\\ xy = 4.\end{cases}\)
а) Из первого уравнения \(2y = 5x - 6\), \(y = \frac{5x - 6}{2}\). \[\begin{aligned} 4 \cdot \left(\frac{5x - 6}{2}\right)^2 - 2x \cdot \frac{5x - 6}{2} &= x^2 + 4; \\ (5x - 6)^2 - x(5x - 6) &= x^2 + 4; \\ 25x^2 - 60x + 36 - 5x^2 + 6x &= x^2 + 4; \\ 19x^2 - 54x + 32 &= 0; \\ D &= (-54)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 32 = 2916 - 2432 = 484; \\ x_1 &= \frac{54 - \sqrt{484}}{2 \cdot 19} = \frac{54 - 22}{38} = \frac{16}{19}; \\ x_2 &= \frac{54 + \sqrt{484}}{2 \cdot 19} = \frac{54 + 22}{38} = 2. \end{aligned}\] При \(x = \frac{16}{19}\): \[y = \frac{5 \cdot \frac{16}{19} - 6}{2} = \frac{80 - 114}{38} = -\frac{17}{19}.\] При \(x = 2\): \(y = \frac{5 \cdot 2 - 6}{2} = 2\).
Значит, система имеет два решения: \(\left(\frac{16}{19}; -\frac{17}{19}\right)\) и \((2; 2)\).
б) Из первого уравнения \(y = \frac{5x - 6}{2}\). \[\begin{aligned} x \cdot \frac{5x - 6}{2} &= 4; \qquad | \cdot 2 \\ 5x^2 - 6x &= 8; \\ 5x^2 - 6x - 8 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196; \\ x_1 &= \frac{6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 14}{10} = -0{,}8; \\ x_2 &= \frac{6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 14}{10} = 2. \end{aligned}\] При \(x = -0{,}8\): \(y = \frac{5 \cdot (-0{,}8) - 6}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5\).
При \(x = 2\): \(y = \frac{5 \cdot 2 - 6}{2} = 2\).
Значит, система имеет два решения: \((-0{,}8; -5)\) и \((2; 2)\).
Ответ: а) \(\left(\frac{16}{19}; -\frac{17}{19}\right)\); \((2; 2)\); б) \((-0{,}8; -5)\); \((2; 2)\).
Решите систему уравнений: а) \(\begin{cases}5x - 2y = 6,\\ 4y^2 - 2xy = x^2 + 4;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}5x - 2y = 6,\\ xy = 4.\end{cases}\)
а) Решим систему уравнений способом подстановки. Из первого уравнения системы выразим \(y\) через \(x\): \(2y = 5x - 6\), \(y = \frac{5x - 6}{2}\). Подставим \(\frac{5x - 6}{2}\) вместо \(y\) во второе уравнение системы: \[\begin{aligned} 4 \cdot \left(\frac{5x - 6}{2}\right)^2 - 2x \cdot \frac{5x - 6}{2} &= x^2 + 4; \\ (5x - 6)^2 - x(5x - 6) &= x^2 + 4; \\ 25x^2 - 60x + 36 - 5x^2 + 6x &= x^2 + 4; \\ 19x^2 - 54x + 32 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= (-54)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 32 = 2916 - 2432 = 484; \\ x_1 &= \frac{54 - \sqrt{484}}{2 \cdot 19} = \frac{54 - 22}{38} = \frac{16}{19}; \\ x_2 &= \frac{54 + \sqrt{484}}{2 \cdot 19} = \frac{54 + 22}{38} = 2. \end{aligned}\] Найдём соответствующие значения \(y\) по формуле \(y = \frac{5x - 6}{2}\). При \(x = \frac{16}{19}\) получим: \[y = \frac{5 \cdot \frac{16}{19} - 6}{2} = \frac{80 - 114}{38} = -\frac{17}{19}.\] При \(x = 2\) получим: \(y = \frac{5 \cdot 2 - 6}{2} = 2\). Значит, система имеет два решения: \(\left(\frac{16}{19}; -\frac{17}{19}\right)\) и \((2; 2)\).
б) Решим систему уравнений способом подстановки. Из первого уравнения системы выразим \(y\) через \(x\): \(y = \frac{5x - 6}{2}\). Подставим \(\frac{5x - 6}{2}\) вместо \(y\) во второе уравнение системы и умножим обе части получившегося уравнения на 2: \[\begin{aligned} x \cdot \frac{5x - 6}{2} &= 4; \qquad | \cdot 2 \\ 5x^2 - 6x &= 8; \\ 5x^2 - 6x - 8 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196; \\ x_1 &= \frac{6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 14}{10} = -0{,}8; \\ x_2 &= \frac{6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 14}{10} = 2. \end{aligned}\] Найдём соответствующие значения \(y\) по формуле \(y = \frac{5x - 6}{2}\). При \(x = -0{,}8\) получим: \(y = \frac{5 \cdot (-0{,}8) - 6}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5\). При \(x = 2\) получим: \(y = \frac{5 \cdot 2 - 6}{2} = 2\). Значит, система имеет два решения: \((-0{,}8; -5)\) и \((2; 2)\).
Ответ: а) \(\left(\frac{16}{19}; -\frac{17}{19}\right)\); \((2; 2)\); б) \((-0{,}8; -5)\); \((2; 2)\).
