Страница 85 номер 341, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Решим систему уравнений способом подстановки. Из первого уравнения системы выразим \(x\) через \(y\): \(2x = 9 - 7y\), \(x = \frac{9 - 7y}{2}\). Подставим \(\frac{9 - 7y}{2}\) вместо \(x\) во второе уравнение системы, приведём подобные слагаемые и разделим обе части получившегося уравнения на 2: \[\begin{aligned} 4 \cdot \left(\frac{9 - 7y}{2}\right)^2 - 8 \cdot \frac{9 - 7y}{2} \cdot y + 5y^2 &= 1; \\ (9 - 7y)^2 - 4y(9 - 7y) + 5y^2 &= 1; \\ 81 - 126y + 49y^2 - 36y + 28y^2 + 5y^2 &= 1; \\ 82y^2 - 162y + 80 &= 0; \qquad | : 2 \\ 41y^2 - 81y + 40 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= (-81)^2 - 4 \cdot 41 \cdot 40 = 6561 - 6560 = 1; \\ y_1 &= \frac{81 - \sqrt{1}}{2 \cdot 41} = \frac{81 - 1}{82} = \frac{40}{41}; \\ y_2 &= \frac{81 + \sqrt{1}}{2 \cdot 41} = \frac{81 + 1}{82} = 1. \end{aligned}\] Найдём соответствующие значения \(x\) по формуле \(x = \frac{9 - 7y}{2}\). При \(y = \frac{40}{41}\) получим: \[x = \frac{9 - 7 \cdot \frac{40}{41}}{2} = \frac{369 - 280}{82} = \frac{89}{82}.\] При \(y = 1\) получим: \(x = \frac{9 - 7 \cdot 1}{2} = 1\). Значит, система имеет два решения: \((1; 1)\) и \(\left(\frac{89}{82}; \frac{40}{41}\right)\).

б) Решим систему уравнений способом подстановки. Из первого уравнения системы выразим \(x\) через \(y\): \(x = \frac{9 - 7y}{2}\). Подставим \(\frac{9 - 7y}{2}\) вместо \(x\) во второе уравнение системы и умножим обе части получившегося уравнения на 2: \[\begin{aligned} \frac{9 - 7y}{2} \cdot y &= 1; \qquad | \cdot 2 \\ 9y - 7y^2 &= 2; \\ 7y^2 - 9y + 2 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25; \\ y_1 &= \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 - 5}{14} = \frac{2}{7}; \\ y_2 &= \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 + 5}{14} = 1. \end{aligned}\] Найдём соответствующие значения \(x\) по формуле \(x = \frac{9 - 7y}{2}\). При \(y = \frac{2}{7}\) получим: \(x = \frac{9 - 7 \cdot \frac{2}{7}}{2} = \frac{9 - 2}{2} = 3{,}5\). При \(y = 1\) получим: \(x = \frac{9 - 7 \cdot 1}{2} = 1\). Значит, система имеет два решения: \((1; 1)\) и \(\left(3{,}5; \frac{2}{7}\right)\).

Ответ: а) \((1; 1)\); \(\left(\frac{89}{82}; \frac{40}{41}\right)\); б) \((1; 1)\); \(\left(3{,}5; \frac{2}{7}\right)\).