Страница 82 номер 333, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Является ли пара чисел \((0; -1)\) решением уравнения \((x^2 - 1)^2 + y^2 = 0\)? Найдите все решения уравнения \((x^2 - 1)^2 + y^2 = 0\).
\((0^2 - 1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2\), а \(2 \ne 0\), поэтому пара \((0; -1)\) не является решением уравнения.
\((x^2 - 1)^2 \geqslant 0\) и \(y^2 \geqslant 0\), поэтому сумма равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю: \((x^2 - 1)^2 = 0\) и \(y^2 = 0\), то есть \(x^2 - 1 = 0\) и \(y = 0\). Из \(x^2 = 1\) получаем \(x = -1\) или \(x = 1\). Уравнение имеет два решения: \((-1; 0)\) и \((1; 0)\).
Ответ: пара \((0; -1)\) не является решением уравнения; решения уравнения — \((-1; 0)\); \((1; 0)\).
Является ли пара чисел \((0; -1)\) решением уравнения \((x^2 - 1)^2 + y^2 = 0\)? Найдите все решения уравнения \((x^2 - 1)^2 + y^2 = 0\).
Подставим \(x = 0\), \(y = -1\) в левую часть уравнения: \((0^2 - 1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2\), а \(2 \ne 0\). Значит, пара \((0; -1)\) не является решением уравнения \((x^2 - 1)^2 + y^2 = 0\).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \((x^2 - 1)^2 \geqslant 0\) и \(y^2 \geqslant 0\). Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю: если хотя бы одно слагаемое положительно, то и сумма положительна. Значит, \((x^2 - 1)^2 = 0\) и \(y^2 = 0\), то есть \(x^2 - 1 = 0\) и \(y = 0\). Из \(x^2 = 1\) получаем \(x = -1\) или \(x = 1\). Уравнение имеет два решения: \((-1; 0)\) и \((1; 0)\).
Ответ: пара \((0; -1)\) не является решением уравнения; решения уравнения — \((-1; 0)\); \((1; 0)\).
