Страница 82 номер 329, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Изобразите на координатной плоскости все точки с координатами \((x; y)\), являющимися решениями уравнения: а) \(3x - 4y = 12\); б) \(y = x^2 - 4x\); в) \(x^2 = 25\).
а) \[\begin{aligned} 3x - 4y &= 12; \\ -4y &= 12 - 3x; \qquad | : (-4) \\ y &= \frac{3}{4}x - 3. \end{aligned}\] При \(x = 0\): \(y = -3\).
При \(x = 4\): \(y = \frac{3}{4} \cdot 4 - 3 = 0\).
График уравнения \(3x - 4y = 12\) — прямая, проходящая через точки \((0; -3)\) и \((4; 0)\):
б) График уравнения — парабола \(y = x^2 - 4x\); коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви направлены вверх.
\[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2; \\ y_0 &= 2^2 - 4 \cdot 2 = -4. \end{aligned}\]
Пересечение с осью \(x\): \(x^2 - 4x = 0\);
\(x(x - 4) = 0\);
\(x = 0\) или \(x = 4\).
Парабола с вершиной \((2; -4)\) пересекает ось \(x\) в точках \((0; 0)\) и \((4; 0)\):
в) Уравнение \(x^2 = 25\) не содержит переменной \(y\), поэтому \(y\) — любое число, а \(x = -5\) или \(x = 5\). График уравнения — две прямые \(x = -5\) и \(x = 5\), параллельные оси ординат.
Изобразите на координатной плоскости все точки с координатами \((x; y)\), являющимися решениями уравнения: а) \(3x - 4y = 12\); б) \(y = x^2 - 4x\); в) \(x^2 = 25\).
Точки, координаты которых являются решениями уравнения, образуют график этого уравнения: точка лежит на графике тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение в верное равенство.
а) Выразим \(y\) через \(x\): перенесём слагаемое \(3x\) в правую часть уравнения и разделим обе части на \(-4\): \[\begin{aligned} 3x - 4y &= 12; \\ -4y &= 12 - 3x; \qquad | : (-4) \\ y &= \frac{3}{4}x - 3. \end{aligned}\] Пара \((x; y)\) является решением уравнения \(3x - 4y = 12\) тогда и только тогда, когда \(y = \frac{3}{4}x - 3\). Значит, график уравнения совпадает с графиком линейной функции \(y = \frac{3}{4}x - 3\), то есть является прямой. Для построения прямой достаточно двух её точек: при \(x = 0\) получаем \(y = -3\), при \(x = 4\) — \(y = \frac{3}{4} \cdot 4 - 3 = 0\). График уравнения \(3x - 4y = 12\) — прямая, проходящая через точки \((0; -3)\) и \((4; 0)\):
б) Пара \((x; y)\) является решением уравнения \(y = x^2 - 4x\) тогда и только тогда, когда точка \((x; y)\) лежит на графике функции \(y = x^2 - 4x\). Значит, график уравнения — парабола \(y = x^2 - 4x\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому её ветви направлены вверх. Координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2; \\ y_0 &= 2^2 - 4 \cdot 2 = -4. \end{aligned}\] Абсциссы точек пересечения параболы с осью \(x\) — корни уравнения \(x^2 - 4x = 0\), то есть \(x(x - 4) = 0\): \(x = 0\) или \(x = 4\). График уравнения \(y = x^2 - 4x\) — парабола с вершиной \((2; -4)\), которая пересекает ось \(x\) в точках \((0; 0)\) и \((4; 0)\):
в) Уравнение \(x^2 = 25\) не содержит переменной \(y\), поэтому пара \((x; y)\) является его решением тогда и только тогда, когда \(x^2 = 25\), а \(y\) — любое число. Из \(x^2 = 25\) получаем \(x = -5\) или \(x = 5\). Отметим на координатной плоскости все точки с абсциссой \(-5\) и все точки с абсциссой 5: график уравнения \(x^2 = 25\) — две прямые \(x = -5\) и \(x = 5\), параллельные оси ординат.
