Страница 82 номер 328, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 4. Системы уравнений и неравенств. §16. Уравнения с двумя переменными и их графики. Страница 82. Номер 328

Решение:

1. \(8 \cdot 12 - 3 \cdot 1 = 96 - 3 = 93\), а \(93 \ne 45\), поэтому пара \((12; 1)\) не является решением уравнения — утверждение неверно.

2. \(3 \cdot 1^2 - 3 = 0\), поэтому точка \((1; 3)\) лежит на графике уравнения. Её ордината положительна, значит, точка лежит в верхней полуплоскости и график не лежит целиком в нижней — утверждение неверно.

3. \(3 \cdot 9 + 2^3 = 27 + 8 = 35\), поэтому пара \((9; 2)\) — решение уравнения. Уравнение имеет решения, утверждение неверно.

4. Если \(x = 0\) или \(y = 0\), то \(xy = 0\), а не 12; значит, точки графика не лежат на осях координат. Произведение \(xy = 12\) положительно, поэтому \(x\) и \(y\) одного знака: оба положительны (первая координатная четверть) или оба отрицательны (третья координатная четверть); графику принадлежат, например, точки \((3; 4)\) и \((-3; -4)\). Утверждение верно.

5. \(4^2 + 6 \cdot 0 + 0^2 = 16\), поэтому точка \((4; 0)\), лежащая на оси абсцисс, принадлежит графику — график пересекает ось абсцисс, утверждение неверно.

Ответ: верно только утверждение 4: график уравнения \(xy = 12\) расположен в первой и третьей координатных четвертях.

Решение:

Пара чисел является решением уравнения с двумя переменными, если при подстановке этих чисел вместо переменных уравнение превращается в верное равенство. Точка лежит на графике уравнения тогда и только тогда, когда её координаты являются решением этого уравнения. Проверим каждое утверждение.

1. Подставим \(x = 12\), \(y = 1\) в левую часть уравнения \(8x - 3y = 45\): \(8 \cdot 12 - 3 \cdot 1 = 96 - 3 = 93\), а \(93 \ne 45\). Значит, пара \((12; 1)\) не является решением уравнения, утверждение неверно.

2. Пара \((1; 3)\) является решением уравнения \(3x^2 - y = 0\), так как \(3 \cdot 1^2 - 3 = 0\). Значит, точка \((1; 3)\) лежит на графике уравнения. Её ордината положительна, поэтому эта точка лежит в верхней полуплоскости и график не лежит целиком в нижней полуплоскости. Утверждение неверно.

3. Пара \((9; 2)\) является решением уравнения \(3x + y^3 = 35\), так как \(3 \cdot 9 + 2^3 = 27 + 8 = 35\). Уравнение имеет решения, утверждение неверно.

4. Пусть пара \((x; y)\) — решение уравнения \(xy = 12\). Если бы одно из чисел \(x\), \(y\) было равно нулю, то и произведение \(xy\) было бы равно нулю, а не 12; значит, \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\) — точки графика не лежат на осях координат. Произведение \(xy = 12\) положительно, поэтому числа \(x\) и \(y\) одного знака: либо оба положительны и точка \((x; y)\) лежит в первой координатной четверти, либо оба отрицательны и точка лежит в третьей координатной четверти. Графику принадлежат, например, точки \((3; 4)\) и \((-3; -4)\). Значит, график уравнения \(xy = 12\) расположен в первой и третьей координатных четвертях, утверждение верно.

5. Пара \((4; 0)\) является решением уравнения \(x^2 + 6y + y^2 = 16\), так как \(4^2 + 6 \cdot 0 + 0^2 = 16\). Значит, точка \((4; 0)\) лежит на графике уравнения. Эта точка лежит на оси абсцисс, поэтому график пересекает ось абсцисс, утверждение неверно.