Страница 80 номер 327, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(\frac{5}{x-3} + \frac{4}{7-x} \le 0\); б) \(\frac{6}{x^2} \ge 1 + \frac{1}{|x|}\).
а) \(7 - x = -(x - 7)\), поэтому \(\frac{4}{7 - x} = -\frac{4}{x - 7}\); общий знаменатель — \((x - 3)(x - 7)\): \[\begin{aligned} \frac{5}{x - 3} - \frac{4}{x - 7} &\leqslant 0; \\ \frac{5(x - 7) - 4(x - 3)}{(x - 3)(x - 7)} &\leqslant 0; \\ \frac{5x - 35 - 4x + 12}{(x - 3)(x - 7)} &\leqslant 0; \\ \frac{x - 23}{(x - 3)(x - 7)} &\leqslant 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 23\), знаменатель — при \(x = 3\) и при \(x = 7\). При \(x > 23\) дробь положительна; каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак меняется: на \((7; 23)\) дробь отрицательна, на \((3; 7)\) — положительна, на \((-\infty; 3)\) — отрицательна.
Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя 23 входит в решение, а нули знаменателя 3 и 7 не входят: решение — \((-\infty; 3) \cup (7; 23]\).
б) При \(x = 0\) знаменатели обращаются в нуль, поэтому \(x \ne 0\). \(x^2 = |x|^2\); замена \(|x| = t\), где \(t > 0\), так как \(x \ne 0\). Умножаем на положительное число \(t^2\), знак неравенства сохраняется: \[\begin{aligned} \frac{6}{t^2} &\geqslant 1 + \frac{1}{t}; \qquad | \cdot t^2 \\ 6 &\geqslant t^2 + t; \\ t^2 + t - 6 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Корни трёхчлена \(t^2 + t - 6\): \[\begin{aligned} t^2 + t - 6 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ t_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3; \\ t_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2. \end{aligned}\] Значит, \(t^2 + t - 6 = (t + 3)(t - 2)\). При \(t > 2\) трёхчлен положителен; каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждый корень знак меняется: на \((-3; 2)\) трёхчлен отрицателен, на \((-\infty; -3)\) — положителен.
Неравенство нестрогое, корни входят в решение: \(-3 \leqslant t \leqslant 2\). С учётом условия \(t > 0\) получаем \(0 < t \leqslant 2\), то есть \(0 < |x| \leqslant 2\). Неравенство \(|x| \leqslant 2\) выполняется при \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), а условие \(|x| > 0\) означает, что \(x \ne 0\). Значит, \(-2 \leqslant x < 0\) или \(0 < x \leqslant 2\).
Ответ: а) \((-\infty; 3) \cup (7; 23]\); б) \([-2; 0) \cup (0; 2]\).
Решите неравенство: а) \(\frac{5}{x-3} + \frac{4}{7-x} \le 0\); б) \(\frac{6}{x^2} \ge 1 + \frac{1}{|x|}\).
а) Так как \(7 - x = -(x - 7)\), то \(\frac{4}{7 - x} = -\frac{4}{x - 7}\). Приведём левую часть неравенства к общему знаменателю \((x - 3)(x - 7)\): \[\begin{aligned} \frac{5}{x - 3} - \frac{4}{x - 7} &\leqslant 0; \\ \frac{5(x - 7) - 4(x - 3)}{(x - 3)(x - 7)} &\leqslant 0; \\ \frac{5x - 35 - 4x + 12}{(x - 3)(x - 7)} &\leqslant 0; \\ \frac{x - 23}{(x - 3)(x - 7)} &\leqslant 0. \end{aligned}\] Решим неравенство методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = 23\), знаменатель — при \(x = 3\) и при \(x = 7\). При \(x > 23\) все множители \(x - 23\), \(x - 3\) и \(x - 7\) положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((7; 23)\) она отрицательна, на \((3; 7)\) — положительна, на \((-\infty; 3)\) — отрицательна.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя 23 входит в решение, а нули знаменателя 3 и 7 не входят: решение — \((-\infty; 3) \cup (7; 23]\).
б) При \(x = 0\) знаменатели дробей обращаются в нуль, поэтому \(x \ne 0\). Заметим, что \(x^2 = |x|^2\). Сделаем замену переменной \(|x| = t\); так как \(x \ne 0\), то \(t > 0\). Неравенство примет вид \(\frac{6}{t^2} \geqslant 1 + \frac{1}{t}\). Умножим обе его части на положительное число \(t^2\), знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} \frac{6}{t^2} &\geqslant 1 + \frac{1}{t}; \qquad | \cdot t^2 \\ 6 &\geqslant t^2 + t; \\ t^2 + t - 6 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Получено квадратное неравенство; решим его методом интервалов. Найдём корни квадратного трёхчлена \(t^2 + t - 6\): \[\begin{aligned} t^2 + t - 6 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ t_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3; \\ t_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2. \end{aligned}\] Значит, \(t^2 + t - 6 = (t + 3)(t - 2)\). При \(t > 2\) оба множителя \(t + 3\) и \(t - 2\) положительны, поэтому трёхчлен положителен. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак трёхчлена меняется: на промежутке \((-3; 2)\) он отрицателен, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положителен.
Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому корни трёхчлена входят в решение: \(-3 \leqslant t \leqslant 2\). С учётом условия \(t > 0\) получаем \(0 < t \leqslant 2\), то есть \(0 < |x| \leqslant 2\). Неравенство \(|x| \leqslant 2\) выполняется при \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), а условие \(|x| > 0\) означает, что \(x \ne 0\). Значит, \(-2 \leqslant x < 0\) или \(0 < x \leqslant 2\).
Ответ: а) \((-\infty; 3) \cup (7; 23]\); б) \([-2; 0) \cup (0; 2]\).
