Страница 80 номер 326, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Заметим, что \((x - 6)^6 = \left((x - 6)^3\right)^2\). Пусть \((x - 6)^3 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 - 4\sqrt{2}t + 8 = 0\): \[\begin{aligned} D &= \left(-4\sqrt{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 32 - 32 = 0; \\ t &= \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = 2\sqrt{2}. \end{aligned}\] Значит, \((x - 6)^3 = 2\sqrt{2}\). Функция \(y = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому число, куб которого равен \(2\sqrt{2}\), единственно — это кубический корень \(\sqrt[3]{2\sqrt{2}}\). Так как \(\left(\sqrt{2}\right)^3 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\), этот корень равен \(\sqrt{2}\). Следовательно, \(x - 6 = \sqrt{2}\), откуда \(x = 6 + \sqrt{2}\).

б) Разложим знаменатели на множители: \(x^2 - 2x = x(x - 2)\), \(x^2 + 2x = x(x + 2)\). Общий знаменатель всех дробей — \(x(x - 2)(x + 2)\). Умножим обе части уравнения на это выражение при условии, что оно не равно нулю, то есть \(x \ne 0\), \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\): \[\begin{aligned} \frac{14}{x(x - 2)} - \frac{21}{x(x + 2)} &= \frac{5}{x}; \qquad | \cdot x(x - 2)(x + 2) \\ 14(x + 2) - 21(x - 2) &= 5(x - 2)(x + 2); \\ 14x + 28 - 21x + 42 &= 5x^2 - 20; \\ 5x^2 + 7x - 90 &= 0; \\ D &= 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-90) = 49 + 1800 = 1849; \\ x_1 &= \frac{-7 - \sqrt{1849}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 - 43}{10} = -5; \\ x_2 &= \frac{-7 + \sqrt{1849}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 + 43}{10} = 3{,}6. \end{aligned}\] Найденные числа отличны от 0, 2 и \(-2\), поэтому выражение \(x(x - 2)(x + 2)\) при них в нуль не обращается. Значит, \(-5\) и \(3{,}6\) — корни исходного уравнения.

Ответ: а) \(6 + \sqrt{2}\); б) \(-5\); \(3{,}6\).