Страница 80 номер 325, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите точки пересечения графика функции \(y = x^4 - 5x^2\) с прямой \(y = -6\).
Абсциссы точек пересечения — корни уравнения \(x^4 - 5x^2 = -6\), то есть \(x^4 - 5x^2 + 6 = 0\). Замена \(x^2 = t\), уравнение \(t^2 - 5t + 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1; \\ t_1 &= \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2; \\ t_2 &= \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = 2\) или \(x^2 = 3\). Оба числа положительны, поэтому уравнение \(x^2 = 2\) имеет корни \(-\sqrt{2}\) и \(\sqrt{2}\), уравнение \(x^2 = 3\) — корни \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\). Точки пересечения лежат на прямой \(y = -6\), поэтому ордината каждой из них равна \(-6\).
Ответ: \((-\sqrt{3}; -6)\), \((-\sqrt{2}; -6)\), \((\sqrt{2}; -6)\) и \((\sqrt{3}; -6)\).
Найдите точки пересечения графика функции \(y = x^4 - 5x^2\) с прямой \(y = -6\).
Абсциссы точек пересечения графика функции \(y = x^4 - 5x^2\) с прямой \(y = -6\) — это корни уравнения \(x^4 - 5x^2 = -6\), то есть биквадратного уравнения \(x^4 - 5x^2 + 6 = 0\). Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 - 5t + 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1; \\ t_1 &= \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2; \\ t_2 &= \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = 2\) или \(x^2 = 3\). Оба числа положительны, поэтому каждое из этих уравнений имеет два корня: уравнение \(x^2 = 2\) — корни \(-\sqrt{2}\) и \(\sqrt{2}\), уравнение \(x^2 = 3\) — корни \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\). Точки пересечения лежат на прямой \(y = -6\), поэтому ордината каждой из них равна \(-6\).
Ответ: \((-\sqrt{3}; -6)\), \((-\sqrt{2}; -6)\), \((\sqrt{2}; -6)\) и \((\sqrt{3}; -6)\).
