Страница 80 номер 324, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Обозначим \(P(x) = 6x^4 + 31x^3 + 15x^2 - 8x - 4\). Коэффициенты многочлена целые, поэтому его целый корень может быть только делителем свободного члена \(-4\), то есть одним из чисел \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 4\). Подставим их в многочлен: \[\begin{aligned} P(1) &= 6 + 31 + 15 - 8 - 4 = 40 \ne 0; \\ P(-1) &= 6 - 31 + 15 + 8 - 4 = -6 \ne 0; \\ P(2) &= 96 + 248 + 60 - 16 - 4 = 384 \ne 0; \\ P(-2) &= 96 - 248 + 60 + 16 - 4 = -80 \ne 0; \\ P(4) &= 1536 + 1984 + 240 - 32 - 4 = 3724 \ne 0; \\ P(-4) &= 1536 - 1984 + 240 + 32 - 4 = -180 \ne 0. \end{aligned}\] Целых корней у уравнения нет.

Найдём рациональные корни. Пусть несократимая дробь \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное, является корнем многочлена \(P(x)\). Его коэффициенты целые и свободный член не равен нулю, поэтому свободный член \(-4\) делится на \(m\), а старший коэффициент 6 делится на \(n\). Значит, \(m\) — одно из чисел \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 4\), а \(n\) — одно из чисел 1, 2, 3, 6. При \(n = 1\) корень был бы целым, а целых корней нет; остаются несократимые дроби \(\pm\frac{1}{2}\), \(\pm\frac{1}{3}\), \(\pm\frac{2}{3}\), \(\pm\frac{4}{3}\), \(\pm\frac{1}{6}\). Проверим число \(\frac{1}{2}\): \[\begin{aligned} &P\left(\frac{1}{2}\right) = 6 \cdot \frac{1}{16} + 31 \cdot \frac{1}{8} + 15 \cdot \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{1}{2} - 4 = {} \\ &= \frac{3}{8} + \frac{31}{8} + \frac{30}{8} - 4 - 4 = 8 - 8 = 0. \end{aligned}\] Значит, \(\frac{1}{2}\) — корень многочлена \(P(x)\), и его можно разложить на множители, один из которых — \(2x - 1 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)\). Представим слагаемые так, чтобы вынести этот множитель за скобки: \[\begin{aligned} &6x^4 + 31x^3 + 15x^2 - 8x - 4 = {} \\ &= 6x^4 - 3x^3 + 34x^3 - 17x^2 + 32x^2 - 16x + 8x - 4 = {} \\ &= 3x^3(2x - 1) + 17x^2(2x - 1) + 16x(2x - 1) + 4(2x - 1) = {} \\ &= (2x - 1)(3x^3 + 17x^2 + 16x + 4). \end{aligned}\] Обозначим \(Q(x) = 3x^3 + 17x^2 + 16x + 4\). Корни многочлена \(Q(x)\) являются и корнями многочлена \(P(x)\), поэтому целых среди них нет. Все коэффициенты многочлена \(Q(x)\) положительны, поэтому при \(x > 0\) он положителен и положительных корней не имеет. Его рациональный корень — несократимая дробь \(\frac{m}{n}\), у которой свободный член 4 делится на \(m\), а старший коэффициент 3 — на \(n\), причём \(n \ne 1\); значит, \(n = 3\), и остаётся проверить отрицательные дроби \(-\frac{1}{3}\), \(-\frac{2}{3}\), \(-\frac{4}{3}\): \[\begin{aligned} Q\left(-\frac{1}{3}\right) &= -\frac{3}{27} + \frac{17}{9} - \frac{16}{3} + 4 = \frac{-1 + 17 - 48 + 36}{9} = \frac{4}{9} \ne 0; \\ Q\left(-\frac{2}{3}\right) &= -\frac{24}{27} + \frac{68}{9} - \frac{32}{3} + 4 = \frac{-8 + 68 - 96 + 36}{9} = 0. \end{aligned}\] Число \(-\frac{2}{3}\) — корень многочлена \(Q(x)\); вынесем за скобки множитель \(3x + 2\), который равен нулю при \(x = -\frac{2}{3}\): \[\begin{aligned} &3x^3 + 17x^2 + 16x + 4 = 3x^3 + 2x^2 + 15x^2 + 10x + 6x + 4 = {} \\ &= x^2(3x + 2) + 5x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (3x + 2)(x^2 + 5x + 2). \end{aligned}\] Уравнение примет вид \((2x - 1)(3x + 2)(x^2 + 5x + 2) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Из \(2x - 1 = 0\) получаем \(x = 0{,}5\), из \(3x + 2 = 0\) — \(x = -\frac{2}{3}\). Решим уравнение \(x^2 + 5x + 2 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}. \end{aligned}\] Так как \(16 < 17 < 25\), то \(4 < \sqrt{17} < 5\), поэтому \(\frac{-5 - \sqrt{17}}{2} < -4{,}5\) и \(-0{,}5 < \frac{-5 + \sqrt{17}}{2} < 0\). Значит, по возрастанию корни уравнения идут так: \(\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}\), \(-\frac{2}{3}\), \(\frac{-5 + \sqrt{17}}{2}\), \(0{,}5\).

б) Заметим, что \(8x^6 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = (2x^2)^3\). Тогда уравнение можно записать в виде \((2x^2)^3 = (3x - 1)^3\). Введём вспомогательную функцию \(f(t) = t^3\); уравнение примет вид \(f(2x^2) = f(3x - 1)\). Функция \(f(t)\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое своё значение принимает ровно один раз, и равенство значений функции возможно только при равенстве её аргументов: \[\begin{aligned} 2x^2 &= 3x - 1; \\ 2x^2 - 3x + 1 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = 0{,}5; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}\); \(-\frac{2}{3}\); \(\frac{-5 + \sqrt{17}}{2}\); \(0{,}5\); б) \(0{,}5\); \(1\).