Страница 80 номер 322, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Разложим на множители знаменатель \(x^2 - 3x - 10\), сгруппировав слагаемые: \[x^2 - 3x - 10 = x^2 + 2x - 5x - 10 = x(x + 2) - 5(x + 2) = (x + 2)(x - 5).\] Общий знаменатель всех дробей уравнения — \((x + 2)(x - 5)\). Умножим обе части уравнения на \((x + 2)(x - 5)\) при условии, что это выражение не равно нулю: \[\begin{aligned} \frac{3}{x + 2} + 2 &= \frac{-15}{(x + 2)(x - 5)}; \qquad | \cdot (x + 2)(x - 5) \\ 3(x - 5) + 2(x + 2)(x - 5) &= -15; \\ 3x - 15 + 2x^2 - 6x - 20 &= -15; \\ 2x^2 - 3x - 20 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 13}{4} = -2{,}5; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 13}{4} = 4. \end{aligned}\] Умножение обеих частей уравнения на выражение с переменной может дать лишние корни — те, при которых это выражение равно нулю, поэтому подставим найденные числа в общий знаменатель. При \(x = -2{,}5\) получаем \((-2{,}5 + 2)(-2{,}5 - 5) = -0{,}5 \cdot (-7{,}5) = 3{,}75 \ne 0\), при \(x = 4\) получаем \((4 + 2)(4 - 5) = 6 \cdot (-1) = -6 \ne 0\). Значит, оба числа — корни исходного уравнения.

Ответ: \(-2{,}5\); \(4\).