Страница 80 номер 321, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^4 - 7x^2 + 12 = 0\); б) \(x + 3\sqrt{x} - 4 = 0\); в) \(x^2 - 4|x| + 3 = 0\).
а) Замена \(x^2 = t\): \[\begin{aligned} t^2 - 7t + 12 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1; \\ t_1 &= \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3; \\ t_2 &= \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = 3\) или \(x^2 = 4\). Числа 3 и 4 положительны, поэтому из \(x^2 = 3\) получаем \(x = -\sqrt{3}\) или \(x = \sqrt{3}\), из \(x^2 = 4\) — \(x = -2\) или \(x = 2\).
б) При \(x \geqslant 0\) верно равенство \((\sqrt{x})^2 = x\). Замена \(\sqrt{x} = t\), где \(t \geqslant 0\): \[\begin{aligned} t^2 + 3t - 4 &= 0; \\ D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25; \\ t_1 &= \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4; \\ t_2 &= \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1. \end{aligned}\] Значение \(t = -4\) не подходит: уравнение \(\sqrt{x} = -4\) решений не имеет, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Из уравнения \(\sqrt{x} = 1\) получаем \(x = 1\).
в) Так как \((|x|)^2 = x^2\), сделаем замену \(|x| = t\): \[\begin{aligned} t^2 - 4t + 3 &= 0; \\ D &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4; \\ t_1 &= \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, \(|x| = 1\) или \(|x| = 3\). Числа 1 и 3 положительны, поэтому из \(|x| = 1\) получаем \(x = -1\) или \(x = 1\), из \(|x| = 3\) — \(x = -3\) или \(x = 3\).
Ответ: а) \(-2\); \(-\sqrt{3}\); \(\sqrt{3}\); \(2\); б) \(1\); в) \(-3\); \(-1\); \(1\); \(3\).
Решите уравнение: а) \(x^4 - 7x^2 + 12 = 0\); б) \(x + 3\sqrt{x} - 4 = 0\); в) \(x^2 - 4|x| + 3 = 0\).
а) Уравнение \(x^4 - 7x^2 + 12 = 0\) биквадратное. Сделаем замену переменной \(x^2 = t\): \[\begin{aligned} t^2 - 7t + 12 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1; \\ t_1 &= \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3; \\ t_2 &= \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = 3\) или \(x^2 = 4\). Числа 3 и 4 положительны, поэтому каждое из этих уравнений имеет два корня: из \(x^2 = 3\) получаем \(x = -\sqrt{3}\) или \(x = \sqrt{3}\), из \(x^2 = 4\) — \(x = -2\) или \(x = 2\).
б) Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), и при всех таких значениях переменной верно равенство \((\sqrt{x})^2 = x\). Сделаем замену переменной \(\sqrt{x} = t\), где \(t \geqslant 0\), так как арифметический квадратный корень неотрицателен: \[\begin{aligned} t^2 + 3t - 4 &= 0; \\ D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25; \\ t_1 &= \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4; \\ t_2 &= \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1. \end{aligned}\] Значение \(t = -4\) не подходит: уравнение \(\sqrt{x} = -4\) решений не имеет, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Из уравнения \(\sqrt{x} = 1\) получаем \(x = 1\). Проверка: \(1 + 3\sqrt{1} - 4 = 0\).
в) Так как \((|x|)^2 = x^2\), сделаем замену переменной \(|x| = t\): \[\begin{aligned} t^2 - 4t + 3 &= 0; \\ D &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4; \\ t_1 &= \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, \(|x| = 1\) или \(|x| = 3\). Числа 1 и 3 положительны, поэтому каждое из этих уравнений имеет два корня: из \(|x| = 1\) получаем \(x = -1\) или \(x = 1\), из \(|x| = 3\) — \(x = -3\) или \(x = 3\).
Ответ: а) \(-2\); \(-\sqrt{3}\); \(\sqrt{3}\); \(2\); б) \(1\); в) \(-3\); \(-1\); \(1\); \(3\).
