Темы исследовательских работ на странице 80, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Уравнение с одной переменной и его корни.
2. Линейные и квадратные уравнения.
3. Целые уравнения высших степеней.
4. Дробно-рациональные уравнения.
5. Замена переменной, свойства функций и оценки.

Презентация к докладу: «Виды уравнений и способы их решения», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Уравнение с одной переменной и его корни. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство; решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет. Уравнение заменяют более простым с теми же корнями: переносят слагаемые из одной части в другую с противоположным знаком, умножают или делят обе части на одно и то же число, не равное нулю. Умножение обеих частей на выражение с переменной может дать лишние корни — те, при которых это выражение равно нулю, поэтому после такого шага нужна проверка. По виду выражений различают целые уравнения (обе части — многочлены), дробно-рациональные (есть деление на выражение с переменной) и уравнения с переменной под знаком модуля или квадратного корня.

2. Линейные и квадратные уравнения. Уравнение \(ax = b\) при \(a \ne 0\) имеет единственный корень \(\frac{b}{a}\); при \(a = 0\) оно не имеет корней, если \(b \ne 0\), а если \(b = 0\), его корень — любое число. Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a \ne 0\), решают через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): при \(D > 0\) корней два — \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\) и \(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\), при \(D = 0\) корень один, при \(D < 0\) корней нет. Например, у уравнения \(x^2 - 7x + 10 = 0\) дискриминант \(D = 49 - 40 = 9\) и корни 2 и 5. Проверять корни удобно по теореме Виета: у приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\); здесь \(2 + 5 = 7\) и \(2 \cdot 5 = 10\). Неполные квадратные уравнения решают разложением на множители: \(x^2 - 5x = 0\), \(x(x - 5) = 0\), \(x = 0\) или \(x = 5\).

3. Целые уравнения высших степеней. Целое уравнение \(P(x) = 0\), где \(P(x)\) — многочлен степени \(n\), имеет не больше \(n\) корней. Его решают разложением левой части на множители: вынесением общего множителя за скобки, группировкой, по формулам сокращённого умножения. Если коэффициенты многочлена целые, то его целый корень — делитель свободного члена; условие необходимое, поэтому каждый делитель проверяют подстановкой. Найдя корень \(m\), записывают \(P(x) = (x - m) \cdot Q(x)\), где степень многочлена \(Q(x)\) на 1 меньше. Так, у уравнения \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0\) корень 1 — делитель числа 6, и \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)\); корни уравнения: \(-2\); 1; 3. Биквадратное уравнение \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) заменой \(x^2 = t\) сводится к квадратному: уравнение \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) даёт \(t = 1\) или \(t = 4\) и четыре корня: \(-2\); \(-1\); 1; 2.

4. Дробно-рациональные уравнения. Уравнение \(\frac{P(x)}{Q(x)} = 0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены, решают, пользуясь тем, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: находят корни числителя и каждый подставляют в знаменатель. Если в знаменателе стоит квадратный корень, подкоренное выражение должно быть положительным. Если дробей несколько, обе части уравнения умножают на общий знаменатель и проверяют, не обращают ли найденные числа его в нуль. Например, уравнение \(\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4}\) после умножения на \((x - 2)(x + 2)\) даёт \(x(x - 2) + (x + 2)^2 = 8\), то есть \(x^2 + x - 2 = 0\), откуда \(x = -2\) или \(x = 1\). При \(x = -2\) общий знаменатель равен нулю, поэтому единственный корень уравнения — число 1.

5. Замена переменной, свойства функций и оценки. Если уравнение записывается через одно и то же выражение с переменной, это выражение обозначают новой буквой. Так, в уравнении \(x + 3\sqrt{x} - 10 = 0\) замена \(\sqrt{x} = t\), где \(t \geqslant 0\), даёт \(t^2 + 3t - 10 = 0\), откуда \(t = -5\) или \(t = 2\); значение \(-5\) отбрасывается, так как арифметический квадратный корень неотрицателен, и \(x = 4\). Так же решают уравнения с модулем (\(|x| = t\), \(t \geqslant 0\)). Если левая часть уравнения \(f(x) = m\) строго возрастает (или строго убывает) на промежутке, то на этом промежутке уравнение имеет не больше одного корня и корень, найденный на нём подбором, единственный: функция \(f(x) = x^3 + x\) возрастает на всей числовой прямой как сумма возрастающих функций \(y = x^3\) и \(y = x\), поэтому уравнение \(x^3 + x = 10\) имеет единственный корень 2. Оценка помогает доказать, что корней нет: \(x^4 + x^2 + 5 \geqslant 5 > 0\) при любом \(x\), поэтому уравнение \(x^4 + x^2 + 5 = 0\) корней не имеет.

Резюме: Таким образом, вид уравнения подсказывает способ его решения: линейные и квадратные уравнения решают по формулам, целые уравнения высших степеней — разложением на множители, в том числе с помощью целых корней, которые у многочлена с целыми коэффициентами ищут среди делителей свободного члена, биквадратные и многие другие — заменой переменной, а дробно-рациональные сводят к целым, помня, что знаменатель не может равняться нулю. Когда формулы и разложение не помогают, единственность корня доказывают с помощью возрастания или убывания функции, а отсутствие корней — оценкой выражений. При любом способе важно следить, чтобы преобразования не приводили к потере корней или к появлению лишних, и проверять найденные числа.