Страница 80 номер 320, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0\); б) \(x^3 - 7x + 6 = 0\); в) \(2 - x^3 = 3\); г) \(x^3 + 3x = 6 - 2x\).
а) Коэффициенты многочлена целые, поэтому его целые корни — среди делителей свободного члена 8: чисел 1; 2; 4; 8 и \(-1\); \(-2\); \(-4\); \(-8\).
Для \(x = 1\): \(1^3 - 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0\), значит, 1 — корень уравнения. Выносим множитель \(x - 1\) группировкой: \[\begin{aligned} &x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x - 8x + 8 = {} \\ &= x^2(x - 1) - 2x(x - 1) - 8(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 2x - 8). \end{aligned}\] Уравнение принимает вид \((x - 1)(x^2 - 2x - 8) = 0\), откуда \(x = 1\) или \(x^2 - 2x - 8 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ x_1 &= \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4. \end{aligned}\]
б) Коэффициенты многочлена целые, поэтому его целые корни — среди делителей свободного члена 6: чисел 1; 2; 3; 6 и \(-1\); \(-2\); \(-3\); \(-6\).
Для \(x = 1\): \(1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0\), значит, 1 — корень уравнения. Выносим множитель \(x - 1\) группировкой: \[\begin{aligned} &x^3 - 7x + 6 = x^3 - x^2 + x^2 - x - 6x + 6 = {} \\ &= x^2(x - 1) + x(x - 1) - 6(x - 1) = (x - 1)(x^2 + x - 6). \end{aligned}\] Уравнение принимает вид \((x - 1)(x^2 + x - 6) = 0\), откуда \(x = 1\) или \(x^2 + x - 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} 2 - x^3 &= 3; \\ -x^3 &= 1; \qquad | \cdot (-1) \\ x^3 &= -1. \end{aligned}\] Функция \(y = x^3\) возрастает на всей числовой прямой и каждое своё значение принимает ровно один раз, поэтому уравнение \(x^3 = -1\) имеет единственный корень — кубический корень \(\sqrt[3]{-1} = -1\), так как \((-1)^3 = -1\).
г) \[\begin{aligned} x^3 + 3x &= 6 - 2x; \\ x^3 + 5x &= 6. \end{aligned}\] Число 1 — корень этого уравнения: \(1^3 + 5 \cdot 1 = 6\).
Функция \(f(x) = x^3 + 5x\) возрастает на всей числовой прямой как сумма двух возрастающих функций \(p(x) = x^3\) и \(q(x) = 5x\), поэтому каждое своё значение принимает ровно один раз, и уравнение \(x^3 + 5x = 6\) имеет единственный корень — число 1.
Ответ: а) \(-2\); \(1\); \(4\); б) \(-3\); \(1\); \(2\); в) \(-1\); г) \(1\).
Решите уравнение: а) \(x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0\); б) \(x^3 - 7x + 6 = 0\); в) \(2 - x^3 = 3\); г) \(x^3 + 3x = 6 - 2x\).
а) Коэффициенты многочлена \(x^3 - 3x^2 - 6x + 8\) — целые числа, поэтому его целые корни могут быть только среди делителей свободного члена 8: чисел 1; 2; 4; 8 и противоположных им чисел \(-1\); \(-2\); \(-4\); \(-8\). Для \(x = 1\): \(1^3 - 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0\), значит, 1 — корень уравнения. Вынесем за скобки множитель \(x - 1\), сгруппировав слагаемые: \[\begin{aligned} &x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x - 8x + 8 = {} \\ &= x^2(x - 1) - 2x(x - 1) - 8(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 2x - 8). \end{aligned}\] Уравнение принимает вид \((x - 1)(x^2 - 2x - 8) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - 1 = 0\), откуда \(x = 1\), или \(x^2 - 2x - 8 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ x_1 &= \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4. \end{aligned}\]
б) Коэффициенты многочлена \(x^3 - 7x + 6\) — целые числа, поэтому его целые корни могут быть только среди делителей свободного члена 6: чисел 1; 2; 3; 6 и противоположных им чисел \(-1\); \(-2\); \(-3\); \(-6\). Для \(x = 1\): \(1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0\), значит, 1 — корень уравнения. Вынесем за скобки множитель \(x - 1\), сгруппировав слагаемые: \[\begin{aligned} &x^3 - 7x + 6 = x^3 - x^2 + x^2 - x - 6x + 6 = {} \\ &= x^2(x - 1) + x(x - 1) - 6(x - 1) = (x - 1)(x^2 + x - 6). \end{aligned}\] Уравнение принимает вид \((x - 1)(x^2 + x - 6) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - 1 = 0\), откуда \(x = 1\), или \(x^2 + x - 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2. \end{aligned}\]
в) Перенесём 2 в правую часть с противоположным знаком и умножим обе части уравнения на \(-1\): \[\begin{aligned} 2 - x^3 &= 3; \\ -x^3 &= 1; \qquad | \cdot (-1) \\ x^3 &= -1. \end{aligned}\] Функция \(y = x^3\) возрастает на всей числовой прямой и каждое своё значение принимает ровно один раз, поэтому уравнение \(x^3 = -1\) имеет единственный корень — кубический корень \(\sqrt[3]{-1} = -1\), так как \((-1)^3 = -1\).
г) Перенесём \(-2x\) в левую часть с противоположным знаком: \[\begin{aligned} x^3 + 3x &= 6 - 2x; \\ x^3 + 5x &= 6. \end{aligned}\] Число 1 — корень этого уравнения: \(1^3 + 5 \cdot 1 = 6\). Рассмотрим функцию \(f(x) = x^3 + 5x\). Она возрастает на всей числовой прямой, поскольку является суммой двух возрастающих функций \(p(x) = x^3\) и \(q(x) = 5x\). Следовательно, каждое своё значение функция \(f(x)\) принимает ровно один раз, и уравнение \(x^3 + 5x = 6\) имеет единственный корень — число 1.
Ответ: а) \(-2\); \(1\); \(4\); б) \(-3\); \(1\); \(2\); в) \(-1\); г) \(1\).
