Страница 80 номер 319, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{x-4}{x+6} = \frac{3}{x}\); б) \(\frac{(x+3)(x-2)x}{\sqrt{x-1}} = 0\).
а) При \(x \ne 0\) и \(x + 6 \ne 0\): \[\begin{aligned} x(x - 4) &= 3(x + 6); \\ x^2 - 4x &= 3x + 18; \\ x^2 - 7x - 18 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121; \\ x_1 &= \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9. \end{aligned}\] При \(x = -2\) знаменатели \(x\) и \(x + 6\) равны \(-2\) и 4, при \(x = 9\) — 9 и 15; ни один из них не равен нулю, поэтому оба числа — корни исходного уравнения.
б) Подкоренное выражение \(x - 1\) должно быть неотрицательным, а знаменатель \(\sqrt{x - 1}\) не должен равняться нулю, поэтому \(x - 1 > 0\), то есть \(x > 1\).
Числитель равен нулю: \((x + 3)(x - 2)x = 0\), откуда \(x = -3\), или \(x = 2\), или \(x = 0\).
Поскольку \(-3 < 1\) и \(0 < 1\), числа \(-3\) и 0 не являются корнями: при них подкоренное выражение \(x - 1\) отрицательно.
При \(x = 2\) знаменатель равен \(\sqrt{2 - 1} = 1 \ne 0\), а числитель равен нулю, поэтому 2 — корень исходного уравнения.
Ответ: а) \(-2\); \(9\); б) \(2\).
Решите уравнение: а) \(\frac{x-4}{x+6} = \frac{3}{x}\); б) \(\frac{(x+3)(x-2)x}{\sqrt{x-1}} = 0\).
а) Воспользуемся основным свойством пропорции: вместо уравнения \(\frac{x - 4}{x + 6} = \frac{3}{x}\) решим уравнение \(x(x - 4) = 3(x + 6)\) при \(x \ne 0\) и \(x + 6 \ne 0\): \[\begin{aligned} x(x - 4) &= 3(x + 6); \\ x^2 - 4x &= 3x + 18; \\ x^2 - 7x - 18 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121; \\ x_1 &= \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9. \end{aligned}\] При \(x = -2\) знаменатели \(x\) и \(x + 6\) равны \(-2\) и 4, при \(x = 9\) — 9 и 15; ни один из них не равен нулю, поэтому оба числа — корни исходного уравнения.
б) В знаменателе находится квадратный корень: подкоренное выражение \(x - 1\) должно быть неотрицательным, а сам знаменатель \(\sqrt{x - 1}\) не должен равняться нулю. Поэтому выражение \(x - 1\) может принимать только положительные значения: \(x - 1 > 0\), то есть \(x > 1\).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом имеет смысл и не равен нулю, то есть при \(x > 1\). Приравняем числитель к нулю: \((x + 3)(x - 2)x = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = -3\), или \(x = 2\), или \(x = 0\). Поскольку \(-3 < 1\) и \(0 < 1\), числа \(-3\) и 0 не являются корнями исходного уравнения: при них подкоренное выражение \(x - 1\) отрицательно. Число 2 больше 1: при \(x = 2\) знаменатель равен \(\sqrt{2 - 1} = 1 \ne 0\), а числитель равен нулю, поэтому 2 — корень исходного уравнения.
Ответ: а) \(-2\); \(9\); б) \(2\).
