Контрольные вопросы и задания на странице 80, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Если при некотором значении переменной одна из частей уравнения не имеет смысла (например, знаменатель дроби равен нулю), числового равенства не получается вовсе, и это значение корнем не является.

Пример 1. Решим линейное уравнение \(5x - 3 = 2x + 9\). Перенесём \(2x\) в левую часть, а \(-3\) — в правую, изменив их знаки, и разделим обе части на 3: \[\begin{aligned} 5x - 3 &= 2x + 9; \\ 5x - 2x &= 9 + 3; \\ 3x &= 12; \qquad | : 3 \\ x &= 4. \end{aligned}\] При \(x = 4\) левая часть равна \(5 \cdot 4 - 3 = 17\), правая — \(2 \cdot 4 + 9 = 17\); равенство \(17 = 17\) верное, поэтому 4 — корень уравнения. Других корней нет: линейное уравнение \(ax = b\) при \(a \ne 0\) имеет единственный корень \(\frac{b}{a}\).

Пример 2. Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a \ne 0\), имеет два корня, если его дискриминант \(D = b^2 - 4ac\) положителен, один корень, если \(D = 0\), и не имеет корней, если \(D < 0\). Решим уравнение \(2x^2 - 3x - 2 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -0{,}5; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2. \end{aligned}\] Проверка подстановкой: \(2 \cdot (-0{,}5)^2 - 3 \cdot (-0{,}5) - 2 = 0{,}5 + 1{,}5 - 2 = 0\) и \(2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0\).

Пример 3. Решим дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{4}{x^2 - 2x}\). Разложим знаменатель на множители: \(x^2 - 2x = x(x - 2)\), поэтому общий знаменатель всех дробей — \(x(x - 2)\). Умножим обе части уравнения на \(x(x - 2)\) при условии, что это выражение не равно нулю: \[\begin{aligned} \frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} &= \frac{4}{x(x - 2)}; \qquad | \cdot x(x - 2) \\ x^2 + 2(x - 2) &= 4; \\ x^2 + 2x - 8 &= 0; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\] Умножение обеих частей уравнения на выражение с переменной может дать лишние корни — те, при которых это выражение равно нулю, поэтому подставим найденные числа в общий знаменатель. При \(x = 2\) получаем \(2 \cdot (2 - 2) = 0\): знаменатели дробей \(\frac{x}{x - 2}\) и \(\frac{4}{x^2 - 2x}\) обращаются в нуль, обе части уравнения не имеют смысла, поэтому 2 — не корень. При \(x = -4\) получаем \(-4 \cdot (-4 - 2) = 24 \ne 0\), поэтому \(-4\) — корень. Проверка: левая часть равна \(\frac{-4}{-6} + \frac{2}{-4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\), правая — \(\frac{4}{(-4)^2 - 2 \cdot (-4)} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\).

Ответ: корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство; например, корень линейного уравнения \(5x - 3 = 2x + 9\) — число \(4\), корни квадратного уравнения \(2x^2 - 3x - 2 = 0\) — числа \(-0{,}5\) и \(2\), а дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{4}{x^2 - 2x}\) имеет единственный корень \(-4\) (число 2, при котором знаменатели обращаются в нуль, его корнем не является).

Целым уравнением называется уравнение вида \(P(x) = 0\), где \(P(x)\) — многочлен. Целым считают и уравнение, обе части которого — многочлены: перенос всех слагаемых в левую часть приводит его к виду \(P(x) = 0\). Если степень многочлена \(P(x)\) равна 1, уравнение линейное, если 2 — квадратное; уравнение \(P(x) = 0\), где \(P(x)\) — многочлен степени \(n\), имеет не больше \(n\) корней.

Пример 1. Обе части уравнения \((x + 1)^2 = 2x + 10\) — многочлены. Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть: \[\begin{aligned} x^2 + 2x + 1 &= 2x + 10; \\ x^2 - 9 &= 0; \\ (x - 3)(x + 3) &= 0. \end{aligned}\] Получили целое уравнение второй степени; его корни: \(-3\) и 3.

Пример 2. Перенесём \(4x\) в левую часть уравнения \(x^3 = 4x\), вынесем \(x\) за скобки и разложим разность квадратов на множители: \[\begin{aligned} x^3 - 4x &= 0; \\ x(x^2 - 4) &= 0; \\ x(x - 2)(x + 2) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\), или \(x = 2\), или \(x = -2\). Это целое уравнение третьей степени, и у него три корня: \(-2\); 0; 2.

Пример 3. Уравнение \(x^4 + 3x^2 + 2 = 0\) — целое уравнение четвёртой степени, не имеющее корней. Оценим его левую часть: \(x^4 = (x^2)^2 \geqslant 0\) и \(3x^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), поэтому \(x^4 + 3x^2 + 2 \geqslant 2 > 0\), и левая часть не обращается в нуль ни при каком значении переменной.

Уравнение \(\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0\) целым не является: его левая часть — дробь, в знаменателе которой есть переменная (это дробно-рациональное уравнение). Его корни не совпадают с корнями целого уравнения \(x^2 - 1 = 0\): числитель равен нулю при \(x = -1\) и при \(x = 1\), но при \(x = -1\) знаменатель \(x + 1\) обращается в нуль, поэтому корень у дробно-рационального уравнения только один — число 1.

Ответ: целым уравнением называется уравнение вида \(P(x) = 0\), где \(P(x)\) — многочлен; например, \((x + 1)^2 = 2x + 10\) (корни \(-3\) и \(3\)), \(x^3 = 4x\) (корни \(-2\); \(0\); \(2\)) и \(x^4 + 3x^2 + 2 = 0\) (корней нет), а уравнение \(\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0\) целым не является.

Поиск опирается на теорему: если целое число \(m\) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого не равен нулю, то \(m\) — делитель свободного члена. Это условие необходимое, но не достаточное: не всякий делитель свободного члена — корень, поэтому каждый делитель проверяют подстановкой. Найдём целые корни многочлена \(P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\).

Этап 1. Коэффициенты многочлена — целые числа 1; \(-4\); 1; 6, поэтому теорему можно применить. Свободный член равен 6.

Этап 2. Делители числа 6 — числа 1; 2; 3; 6 и противоположные им числа \(-1\); \(-2\); \(-3\); \(-6\). Целыми корнями многочлена могут быть только они.

Этап 3. Подставляем делители в многочлен, пока не найдём корень. Для \(x = 1\): \(1^3 - 4 \cdot 1^2 + 1 + 6 = 4 \ne 0\) — число 1 делит 6, но корнем не является. Для \(x = -1\): \((-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0\) — число \(-1\) является корнем.

Этап 4. Если число \(m\) — корень многочлена \(P(x)\), то \(P(x) = (x - m) \cdot Q(x)\), где степень многочлена \(Q(x)\) на 1 меньше степени \(P(x)\). Вынесем множитель \(x + 1\) за скобки, сгруппировав слагаемые: \[\begin{aligned} &x^3 - 4x^2 + x + 6 = x^3 + x^2 - 5x^2 - 5x + 6x + 6 = {} \\ &= x^2(x + 1) - 5x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 1)(x^2 - 5x + 6). \end{aligned}\]

Этап 5. Найдём корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 5x + 6\): \[\begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &= 0; \\ D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1; \\ x_1 &= \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2; \\ x_2 &= \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, \(x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x - 2)(x - 3)\), и многочлен имеет три целых корня: \(-1\); 2; 3. Многочлен третьей степени больше трёх корней иметь не может, поэтому остальные делители числа 6 проверять не нужно. Проверка подстановкой: \(2^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0\) и \(3^3 - 4 \cdot 3^2 + 3 + 6 = 27 - 36 + 3 + 6 = 0\).

Ответ: у многочлена с целыми коэффициентами выписывают все делители свободного члена с обоими знаками, подстановкой находят среди них корень \(m\), выносят за скобки множитель \(x - m\) и находят корни оставшегося квадратного трёхчлена; например, \(x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x - 2)(x - 3)\), и целые корни этого многочлена — \(-1\); \(2\); \(3\).

Число 1 — корень многочлена \(P(x)\), если \(P(1) = 0\). При \(x = 1\) каждая степень переменной равна 1, поэтому значение многочлена при \(x = 1\) равно сумме всех его коэффициентов: число 1 — корень многочлена тогда и только тогда, когда сумма его коэффициентов равна нулю. Многочлен степени \(n\) с корнем 1 можно получить и так: умножить двучлен \(x - 1\) на любой многочлен степени \(n - 1\) — произведение имеет степень \(n\) и обращается в нуль при \(x = 1\).

Пример 1 (вторая степень). \((x - 1)(x + 4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4\). Проверка: \(1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 0\). Второй корень этого многочлена — число \(-4\).

Пример 2 (третья степень). \((x - 1)(x^2 + 2) = x^3 + 2x - x^2 - 2 = x^3 - x^2 + 2x - 2\). Проверка: \(1^3 - 1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = 0\). Множитель \(x^2 + 2\) положителен при всех \(x\), поэтому других корней у этого многочлена нет.

Пример 3 (четвёртая степень). У многочлена \(3x^4 - 2x^2 - 1\) сумма коэффициентов равна \(3 - 2 - 1 = 0\), поэтому 1 — его корень: \(3 \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^2 - 1 = 0\). Разложение на множители это подтверждает: \[\begin{aligned} &3x^4 - 2x^2 - 1 = 3x^4 - 3x^2 + x^2 - 1 = {} \\ &= 3x^2(x^2 - 1) + (x^2 - 1) = (x^2 - 1)(3x^2 + 1) = {} \\ &= (x - 1)(x + 1)(3x^2 + 1). \end{aligned}\]

Ответ: например, \(x^2 + 3x - 4\), \(x^3 - x^2 + 2x - 2\) и \(3x^4 - 2x^2 - 1\): у каждого из этих многочленов сумма коэффициентов равна нулю, поэтому его значение при \(x = 1\) равно нулю.

Если функция \(f(x)\) строго возрастает (или строго убывает) на промежутке, то каждое своё значение она принимает на этом промежутке ровно один раз. Поэтому уравнение \(f(x) = m\) имеет на таком промежутке не больше одного корня, и найденный корень — единственный. Сумма двух возрастающих (убывающих) на промежутке функций тоже возрастает (убывает) на нём.

Пример. Решим уравнение \(x^5 + x^3 + x = 3\). Число 1 — его корень: \(1^5 + 1^3 + 1 = 3\). Разложение на множители вопроса о других корнях не решает: \(x^5 + x^3 + x - 3 = (x - 1)(x^4 + x^3 + 2x^2 + 2x + 3)\), и о корнях многочлена четвёртой степени во второй скобке сразу ничего сказать нельзя. Рассмотрим функцию \(f(x) = x^5 + x^3 + x\). Функции \(y = x^5\), \(y = x^3\) и \(y = x\) возрастают на всей числовой прямой, поэтому их сумма \(f(x)\) тоже возрастает на всей числовой прямой и каждое своё значение принимает ровно один раз. Значит, уравнение \(f(x) = 3\) имеет не больше одного корня, и его единственный корень — число 1.

Ответ: например, уравнение \(x^5 + x^3 + x = 3\): его левая часть — сумма возрастающих функций \(y = x^5\), \(y = x^3\) и \(y = x\) и потому возрастает на всей числовой прямой, так что корень \(1\), найденный подбором, — единственный.

Биквадратным уравнением с одной переменной называется уравнение вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), где \(x\) — переменная, \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые числа, причём \(a \ne 0\). Так как \(x^4 = (x^2)^2\), после замены \(x^2 = t\) оно становится квадратным уравнением \(at^2 + bt + c = 0\). Каждый его корень \(t\) даёт корни уравнения \(x^2 = t\): при \(t < 0\) их нет, при \(t = 0\) корень один — число 0, при \(t > 0\) корней два — \(-\sqrt{t}\) и \(\sqrt{t}\). Поэтому биквадратное уравнение имеет не больше четырёх корней.

Пример. Уравнение \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\) — биквадратное: \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -36\). Сделаем замену переменной \(x^2 = t\): \[\begin{aligned} t^2 - 5t - 36 &= 0; \\ D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169; \\ t_1 &= \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = -4; \\ t_2 &= \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = -4\) или \(x^2 = 9\). Уравнение \(x^2 = -4\) корней не имеет: квадрат числа неотрицателен. Уравнение \(x^2 = 9\) имеет два корня: \(-3\) и 3. Проверка: \(3^4 - 5 \cdot 3^2 - 36 = 81 - 45 - 36 = 0\); в уравнение входят только чётные степени переменной, поэтому при \(x = -3\) получается то же значение.

Ответ: биквадратным уравнением называется уравнение вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), где \(x\) — переменная, \(a\), \(b\), \(c\) — некоторые числа, причём \(a \ne 0\); например, уравнение \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\) биквадратное, его корни — \(-3\) и \(3\).

Способ замены переменной применяют, когда уравнение удаётся записать через одно и то же выражение с переменной: это выражение обозначают новой буквой, решают получившееся более простое уравнение, а затем возвращаются к исходной переменной. Новая переменная может принимать только те значения, которые принимает заменённое выражение (например, \(x^2 \geqslant 0\), \(|x| \geqslant 0\), \(\sqrt{x} \geqslant 0\)), поэтому остальные найденные значения новой переменной корней не дают.

Пример. Решим уравнение \(x^2 - 2|x| - 8 = 0\). Так как \((|x|)^2 = x^2\), уравнение можно записать в виде \((|x|)^2 - 2|x| - 8 = 0\). Сделаем замену переменной \(|x| = t\): \[\begin{aligned} t^2 - 2t - 8 &= 0; \\ D &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ t_1 &= \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2; \\ t_2 &= \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4. \end{aligned}\] Значит, \(|x| = -2\) или \(|x| = 4\). Уравнение \(|x| = -2\) решений не имеет: модуль числа неотрицателен. Уравнение \(|x| = 4\) имеет два корня: \(-4\) и 4. Проверка: \((-4)^2 - 2 \cdot |-4| - 8 = 16 - 8 - 8 = 0\) и \(4^2 - 2 \cdot |4| - 8 = 16 - 8 - 8 = 0\).

Ответ: например, в уравнении \(x^2 - 2|x| - 8 = 0\) замена \(|x| = t\) даёт квадратное уравнение \(t^2 - 2t - 8 = 0\) с корнями \(-2\) и \(4\); значение \(-2\) отбрасывается, так как модуль числа неотрицателен, а из \(|x| = 4\) находим корни исходного уравнения \(-4\) и \(4\).

Пример. Решим неравенство \(x^4 - 10x^2 + 9 < 0\). Так как \(x^4 = (x^2)^2\), сделаем замену переменной \(x^2 = t\): левая часть примет вид \(t^2 - 10t + 9\). Найдём корни этого квадратного трёхчлена: \[\begin{aligned} t^2 - 10t + 9 &= 0; \\ D &= (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64; \\ t_1 &= \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9. \end{aligned}\] Значит, \(t^2 - 10t + 9 = (t - 1)(t - 9)\). Вернёмся к переменной \(x\) и разложим каждый множитель по формуле разности квадратов: \[\begin{aligned} &x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = {} \\ &= (x + 3)(x + 1)(x - 1)(x - 3). \end{aligned}\] Неравенство принимает вид \((x + 3)(x + 1)(x - 1)(x - 3) < 0\); решим его методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = -3\), \(x = -1\), \(x = 1\) и \(x = 3\). При \(x > 3\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на \((1; 3)\) — «−», на \((-1; 1)\) — «+», на \((-3; -1)\) — «−», на \((-\infty; -3)\) — «+». Проверка подстановкой: при \(x = 0\) левая часть исходного неравенства равна \(9 > 0\), а при \(x = 2\) она равна \(2^4 - 10 \cdot 2^2 + 9 = 16 - 40 + 9 = -15 < 0\).

Неравенству \(< 0\) отвечают промежутки со знаком «−». Неравенство строгое, поэтому числа \(-3\); \(-1\); 1; 3 в множество решений не входят.

Множество решений — \((-3; -1) \cup (1; 3)\).

Ответ: например, в неравенстве \(x^4 - 10x^2 + 9 < 0\) замена \(x^2 = t\) даёт квадратный трёхчлен \(t^2 - 10t + 9 = (t - 1)(t - 9)\), откуда \(x^4 - 10x^2 + 9 = (x + 3)(x + 1)(x - 1)(x - 3)\), и методом интервалов находим множество решений \((-3; -1) \cup (1; 3)\).