Страница 79 номер 312, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(H(t) = at^2 + bt + H_0\) — высота столба воды, м
\(H_0 = 1{,}5\) м
\(a = -\frac{1}{200}\) м/мин²
\(b = -\frac{1}{10}\) м/мин

Найти: время, в течение которого вода вытекает из бака.

Решение:

Подставим данные в формулу: \(H(t) = -\frac{1}{200}t^2 - \frac{1}{10}t + 1{,}5\), где \(t\) — время в минутах. Вода вытекает из бака, пока в нём есть вода, то есть пока высота её столба положительна: \(H(t) > 0\). Умножим обе части этого неравенства на \(-200\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -\frac{1}{200}t^2 - \frac{1}{10}t + 1{,}5 &> 0; \qquad | \cdot (-200) \\ t^2 + 20t - 300 &< 0. \end{aligned}\] Получено квадратное неравенство; решим его методом интервалов. Найдём корни квадратного трёхчлена \(t^2 + 20t - 300\): \[\begin{aligned} t^2 + 20t - 300 &= 0; \\ D &= 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 400 + 1200 = 1600; \\ t_1 &= \frac{-20 - \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 40}{2} = -30; \\ t_2 &= \frac{-20 + \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 40}{2} = 10. \end{aligned}\] Значит, \(t^2 + 20t - 300 = (t + 30)(t - 10)\). При \(t > 10\) оба множителя \(t + 30\) и \(t - 10\) положительны, поэтому трёхчлен положителен. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак трёхчлена меняется: на промежутке \((-30; 10)\) он отрицателен, на промежутке \((-\infty; -30)\) — положителен.

Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:

Неравенство строгое, поэтому корни трёхчлена в решение не входят: \(-30 < t < 10\).

Время отсчитывается от момента открытия крана, поэтому \(t \geqslant 0\). Значит, уровень воды положителен при \(0 \leqslant t < 10\), а при \(t = 10\) он становится равным нулю: \(H(10) = -\frac{1}{200} \cdot 100 - \frac{1}{10} \cdot 10 + 1{,}5 = -0{,}5 - 1 + 1{,}5 = 0\). Следовательно, вода вытекает из бака в течение 10 мин.

Ответ: 10 мин.