Страница 79 номер 311, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(h(t) = -5t^2 + 15t\) — высота камня, м
\(h(t) \geqslant 10\)

Найти: время, в течение которого \(h(t) \geqslant 10\).

Решение:

Камень находился на высоте не меньше 10 м в те моменты времени \(t\), для которых \(h(t) \geqslant 10\). Перенесём 10 в левую часть и разделим обе части неравенства на \(-5\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -5t^2 + 15t &\geqslant 10; \\ -5t^2 + 15t - 10 &\geqslant 0; \qquad | : (-5) \\ t^2 - 3t + 2 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Получено квадратное неравенство; решим его методом интервалов. Найдём корни квадратного трёхчлена \(t^2 - 3t + 2\): \[\begin{aligned} t^2 - 3t + 2 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1; \\ t_1 &= \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2. \end{aligned}\] Значит, \(t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2)\). При \(t > 2\) оба множителя \(t - 1\) и \(t - 2\) положительны, поэтому трёхчлен положителен. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак трёхчлена меняется: на промежутке \((1; 2)\) он отрицателен, на промежутке \((-\infty; 1)\) — положителен.

Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:

Неравенство нестрогое, поэтому корни трёхчлена входят в решение: \(1 \leqslant t \leqslant 2\).

Высота \(h(t) = 5t(3 - t)\) равна нулю при \(t = 0\) (момент броска) и при \(t = 3\) (момент падения), поэтому формула описывает полёт камня при \(0 \leqslant t \leqslant 3\). Промежуток \([1; 2]\) содержится в промежутке \([0; 3]\), значит, камень находился на высоте не меньше 10 м с момента \(t = 1\) с до момента \(t = 2\) с, то есть \(2 - 1 = 1\) (с).

Ответ: 1 с.