Страница 79 номер 310, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(q = 0{,}5x^2 + x + 7\) — затраты на производство \(x\) тыс. единиц продукции, млн руб. в год
\(p\) — цена единицы продукции, тыс. руб.
\(px - q\) — годовая прибыль, млн руб.; объём \(x\) выбирается так, чтобы она была наибольшей
\(3 \cdot (px - q) \geqslant 75\) — суммарная прибыль за три года, млн руб.
Найти: наименьшее значение \(p\) (тыс. руб.).
Решение:
\(px - q = px - 0{,}5x^2 - x - 7 = -0{,}5x^2 + (p - 1)x - 7\) (млн руб.) — годовая прибыль; обозначим её \(f(x)\), \(x \geqslant 0\).
Если \(p \leqslant 1\), то при \(x \geqslant 0\) слагаемые \(-0{,}5x^2\) и \((p - 1)x\) неположительны, поэтому \(f(x) \leqslant -7\): прибыль отрицательна, и суммарная прибыль за три года не может составить 75 млн руб. Значит, \(p > 1\).
Коэффициент при \(x^2\) равен \(-0{,}5 < 0\), ветви параболы направлены вниз, и наибольшее значение \(f(x)\) — в вершине: \(x_0 = -\frac{p - 1}{2 \cdot (-0{,}5)} = p - 1\). При \(p > 1\) это число положительно, такой объём выпуска возможен. Наибольшая годовая прибыль: \[f(p - 1) = -0{,}5(p - 1)^2 + (p - 1)^2 - 7 = 0{,}5(p - 1)^2 - 7.\] Цена от года к году не меняется, поэтому прибыль каждый год одна и та же; за три года: \[\begin{aligned} 3\left(0{,}5(p - 1)^2 - 7\right) &\geqslant 75; \qquad | : 3 \\ 0{,}5(p - 1)^2 - 7 &\geqslant 25; \qquad | \cdot 2 \\ (p - 1)^2 - 14 &\geqslant 50; \\ (p - 1)^2 - 64 &\geqslant 0; \\ (p - 1)^2 - 64 &= (p - 1 - 8)(p - 1 + 8) = (p + 7)(p - 9). \end{aligned}\] Левая часть обращается в нуль при \(p = -7\) и при \(p = 9\). При \(p > 9\) она положительна; каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждый корень знак меняется: на \((-7; 9)\) левая часть отрицательна, на \((-\infty; -7)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, корни входят в решение: \(p \leqslant -7\) или \(p \geqslant 9\). С учётом условия \(p > 1\) получаем \(p \geqslant 9\); наименьшее значение цены — \(p = 9\).
\(9 - 1 = 8\) (тыс. единиц) — годовой выпуск при \(p = 9\).
\(0{,}5 \cdot 8^2 - 7 = 25\) (млн руб.) — годовая прибыль.
\(3 \cdot 25 = 75\) (млн руб.) — прибыль за три года.
Ответ: 9 тыс. руб.
Дано:
\(q = 0{,}5x^2 + x + 7\) — затраты на производство \(x\) тыс. единиц продукции, млн руб. в год
\(p\) — цена единицы продукции, тыс. руб.
\(px - q\) — годовая прибыль, млн руб.; объём \(x\) выбирается так, чтобы она была наибольшей
\(3 \cdot (px - q) \geqslant 75\) — суммарная прибыль за три года, млн руб.
Найти: наименьшее значение \(p\) (тыс. руб.).
Решение:
При выпуске \(x\) тыс. единиц продукции годовая прибыль равна \(px - q = px - 0{,}5x^2 - x - 7 = -0{,}5x^2 + (p - 1)x - 7\) млн руб. Рассмотрим функцию \(f(x) = -0{,}5x^2 + (p - 1)x - 7\) при \(x \geqslant 0\).
Если \(p \leqslant 1\), то при \(x \geqslant 0\) слагаемые \(-0{,}5x^2\) и \((p - 1)x\) неположительны, поэтому \(f(x) \leqslant -7\): прибыль при любом объёме выпуска отрицательна, и суммарная прибыль за три года не может составить 75 млн руб. Значит, \(p > 1\).
Графиком функции \(f(x)\) является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при \(x^2\) равен \(-0{,}5 < 0\)), поэтому наибольшее значение функция принимает в вершине параболы: \(x_0 = -\frac{p - 1}{2 \cdot (-0{,}5)} = p - 1\). При \(p > 1\) это число положительно, то есть такой объём выпуска возможен, и наибольшая годовая прибыль равна \[f(p - 1) = -0{,}5(p - 1)^2 + (p - 1)^2 - 7 = 0{,}5(p - 1)^2 - 7.\] Цена \(p\) от года к году не меняется, поэтому каждый год выпускается \(p - 1\) тыс. единиц продукции и годовая прибыль одна и та же. Суммарная прибыль за три года должна быть не меньше 75 млн руб. Разделим обе части неравенства на 3, затем умножим на 2; числа положительные, поэтому знак неравенства сохраняется: \[\begin{aligned} 3\left(0{,}5(p - 1)^2 - 7\right) &\geqslant 75; \qquad | : 3 \\ 0{,}5(p - 1)^2 - 7 &\geqslant 25; \qquad | \cdot 2 \\ (p - 1)^2 - 14 &\geqslant 50; \\ (p - 1)^2 - 64 &\geqslant 0. \end{aligned}\] Получено квадратное неравенство; решим его методом интервалов. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: \[(p - 1)^2 - 64 = (p - 1 - 8)(p - 1 + 8) = (p + 7)(p - 9).\] Левая часть обращается в нуль при \(p = -7\) и при \(p = 9\). При \(p > 9\) оба множителя \(p + 7\) и \(p - 9\) положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак левой части меняется: на промежутке \((-7; 9)\) она отрицательна, на промежутке \((-\infty; -7)\) — положительна.
Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому корни входят в решение: \(p \leqslant -7\) или \(p \geqslant 9\). С учётом условия \(p > 1\) получаем \(p \geqslant 9\), и наименьшее значение цены — \(p = 9\). При этой цене выпускается \(9 - 1 = 8\) тыс. единиц продукции в год, годовая прибыль равна \(0{,}5 \cdot 8^2 - 7 = 25\) млн руб., а за три года — \(3 \cdot 25 = 75\) млн руб.
Ответ: 9 тыс. руб.
