Страница 79 номер 309, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(h(t) = -5t^2 + 18t\) — высота камня, м
\(h(t) \geqslant 9\)

Найти: время, в течение которого \(h(t) \geqslant 9\).

Решение:

Камень находился на высоте не меньше 9 м в те моменты времени \(t\), для которых \(h(t) \geqslant 9\). Перенесём 9 в левую часть и умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -5t^2 + 18t &\geqslant 9; \\ -5t^2 + 18t - 9 &\geqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 5t^2 - 18t + 9 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Получено квадратное неравенство; решим его методом интервалов. Найдём корни квадратного трёхчлена \(5t^2 - 18t + 9\): \[\begin{aligned} 5t^2 - 18t + 9 &= 0; \\ D &= (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 324 - 180 = 144; \\ t_1 &= \frac{18 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{18 - 12}{10} = 0{,}6; \\ t_2 &= \frac{18 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{18 + 12}{10} = 3. \end{aligned}\] Значит, \(5t^2 - 18t + 9 = 5(t - 0{,}6)(t - 3)\). При \(t > 3\) оба множителя \(t - 0{,}6\) и \(t - 3\) положительны, поэтому трёхчлен положителен. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак трёхчлена меняется: на промежутке \((0{,}6; 3)\) он отрицателен, на промежутке \((-\infty; 0{,}6)\) — положителен.

Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:

Неравенство нестрогое, поэтому корни трёхчлена входят в решение: \(0{,}6 \leqslant t \leqslant 3\).

Высота \(h(t) = t(18 - 5t)\) равна нулю при \(t = 0\) (момент броска) и при \(t = 3{,}6\) (момент падения), поэтому формула описывает полёт камня при \(0 \leqslant t \leqslant 3{,}6\). Промежуток \([0{,}6; 3]\) содержится в промежутке \([0; 3{,}6]\), значит, камень находился на высоте не меньше 9 м с момента \(t = 0{,}6\) с до момента \(t = 3\) с, то есть \(3 - 0{,}6 = 2{,}4\) (с).

Ответ: \(2{,}4\) с.