Страница 78 номер 308, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции: а) \(y = -(x + 2)(x + 1)\); б) \(y = -x^2 + 3x - 1{,}25\).
а) \(-(x + 2)(x + 1) = -(x^2 + x + 2x + 2) = -x^2 - 3x - 2\).
Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), он отрицателен — ветви параболы направлены вниз.
\(-(x + 2)(x + 1) = 0\) при \(x = -2\) и при \(x = -1\) — нули функции; парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((-1; 0)\).
Абсцисса вершины — посередине между нулями: \[\begin{aligned} x_0 &= \frac{-2 + (-1)}{2} = -1{,}5; \\ y_0 &= -(-1{,}5 + 2)(-1{,}5 + 1) = -0{,}5 \cdot (-0{,}5) = 0{,}25. \end{aligned}\]
\(x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -1{,}5\) — проверка абсциссы вершины по формуле.
\((0; -2)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену.
Ось симметрии — прямая \(x = -1{,}5\); точка, симметричная точке \((0; -2)\) относительно неё, — \((-3; -2)\).
б) Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), он отрицателен — ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5; \\ y_0 &= -1{,}5^2 + 3 \cdot 1{,}5 - 1{,}25 = -2{,}25 + 4{,}5 - 1{,}25 = 1. \end{aligned}\]
Нули функции: \[\begin{aligned} -x^2 + 3x - 1{,}25 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 3x + 1{,}25 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1{,}25 = 9 - 5 = 4; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 2}{2} = 0{,}5; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 2}{2} = 2{,}5. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((0{,}5; 0)\) и \((2{,}5; 0)\).
\(\frac{0{,}5 + 2{,}5}{2} = 1{,}5\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями, вычисления верны.
\((0; -1{,}25)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену.
Ось симметрии — прямая \(x = 1{,}5\); точка, симметричная точке \((0; -1{,}25)\) относительно неё, — \((3; -1{,}25)\).
Постройте график функции: а) \(y = -(x + 2)(x + 1)\); б) \(y = -x^2 + 3x - 1{,}25\).
а) Раскроем скобки: \(-(x + 2)(x + 1) = -(x^2 + x + 2x + 2) = -x^2 - 3x - 2\). Графиком функции является парабола. Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), он отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз.
Произведение \(-(x + 2)(x + 1)\) равно нулю при \(x = -2\) и при \(x = -1\) — это нули функции. Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((-1; 0)\).
Абсцисса вершины параболы лежит посередине между нулями функции: \[\begin{aligned} x_0 &= \frac{-2 + (-1)}{2} = -1{,}5; \\ y_0 &= -(-1{,}5 + 2)(-1{,}5 + 1) = -0{,}5 \cdot (-0{,}5) = 0{,}25. \end{aligned}\] Проверим абсциссу вершины по формуле: \(x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -1{,}5\).
Свободный член равен \(-2\), поэтому ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; -2)\). Точка, симметричная ей относительно оси симметрии параболы — прямой \(x = -1{,}5\), — это \((-3; -2)\).
Отметим найденные точки и проведём через них параболу.
б) Графиком функции \(y = -x^2 + 3x - 1{,}25\) является парабола. Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), он отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз.
Найдём координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5; \\ y_0 &= -1{,}5^2 + 3 \cdot 1{,}5 - 1{,}25 = -2{,}25 + 4{,}5 - 1{,}25 = 1. \end{aligned}\]
Нули функции — корни уравнения \(-x^2 + 3x - 1{,}25 = 0\). Умножим обе части уравнения на \(-1\) и найдём корни: \[\begin{aligned} -x^2 + 3x - 1{,}25 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 3x + 1{,}25 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1{,}25 = 9 - 5 = 4; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 2}{2} = 0{,}5; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 2}{2} = 2{,}5. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((0{,}5; 0)\) и \((2{,}5; 0)\).
Проверим вычисления: абсцисса вершины должна лежать посередине между нулями функции, и действительно, \(\frac{0{,}5 + 2{,}5}{2} = 1{,}5\).
Свободный член равен \(-1{,}25\), поэтому ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; -1{,}25)\). Точка, симметричная ей относительно оси симметрии параболы — прямой \(x = 1{,}5\), — это \((3; -1{,}25)\).
Отметим найденные точки и проведём через них параболу.
