Страница 78 номер 305, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции: а) \(y = x^2 + 3x\); б) \(y = x^2 + x - 2\).
а) Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен — ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5; \\ y_0 &= (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) = 2{,}25 - 4{,}5 = -2{,}25. \end{aligned}\]
Нули функции: \(x(x + 3) = 0\), откуда \(x = -3\) или \(x = 0\); парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-3; 0)\) и \((0; 0)\).
\((0; 0)\) — точка пересечения с осью \(y\), свободный член равен нулю.
\(\frac{-3 + 0}{2} = -1{,}5\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями, вычисления верны.
При \(x = 1\) получаем \(y = 1^2 + 3 \cdot 1 = 4\) — точка \((1; 4)\).
Ось симметрии — прямая \(x = -1{,}5\); точка, симметричная точке \((1; 4)\) относительно неё, — \((-4; 4)\).
б) Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен — ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0{,}5; \\ y_0 &= (-0{,}5)^2 + (-0{,}5) - 2 = 0{,}25 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25. \end{aligned}\]
Нули функции — корни уравнения \(x^2 + x - 2 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((1; 0)\).
\(\frac{-2 + 1}{2} = -0{,}5\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями, вычисления верны.
\((0; -2)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену.
Ось симметрии — прямая \(x = -0{,}5\); точка, симметричная точке \((0; -2)\) относительно неё, — \((-1; -2)\).
Постройте график функции: а) \(y = x^2 + 3x\); б) \(y = x^2 + x - 2\).
а) Графиком функции \(y = x^2 + 3x\) является парабола. Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5; \\ y_0 &= (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) = 2{,}25 - 4{,}5 = -2{,}25. \end{aligned}\]
Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 3x = 0\), то есть \(x(x + 3) = 0\): \(x = -3\) или \(x = 0\). Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-3; 0)\) и \((0; 0)\). Свободный член равен нулю, поэтому ось \(y\) парабола пересекает в начале координат.
Проверим вычисления: абсцисса вершины должна лежать посередине между нулями функции, и действительно, \(\frac{-3 + 0}{2} = -1{,}5\).
Ось симметрии параболы — прямая \(x = -1{,}5\). Для точности построения найдём ещё две точки: при \(x = 1\) получаем \(y = 1^2 + 3 \cdot 1 = 4\), а точка, симметричная точке \((1; 4)\) относительно прямой \(x = -1{,}5\), — это \((-4; 4)\).
Отметим найденные точки и проведём через них параболу.
б) Графиком функции \(y = x^2 + x - 2\) является парабола. Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0{,}5; \\ y_0 &= (-0{,}5)^2 + (-0{,}5) - 2 = 0{,}25 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25. \end{aligned}\]
Нули функции — корни уравнения \(x^2 + x - 2 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((1; 0)\).
Проверим вычисления: абсцисса вершины должна лежать посередине между нулями функции, и действительно, \(\frac{-2 + 1}{2} = -0{,}5\).
Свободный член равен \(-2\), поэтому ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; -2)\). Точка, симметричная ей относительно оси симметрии параболы — прямой \(x = -0{,}5\), — это \((-1; -2)\).
Отметим найденные точки и проведём через них параболу.
