Страница 77 номер 302, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(\frac{(x-1)^{10}(x+3)^3(x-2)}{x^5(x-3)^2} \le 0\); б) \(\frac{x^2-10x+21}{x^2+20x+36} \ge 0\).
а) Нули числителя — \(-3\), 1 и 2, нули знаменателя — 0 и 3, при них дробь не определена.
При \(x > 3\) все множители числителя и знаменателя положительны — дробь положительна.
Выражения \(x - 3\) и \(x - 1\) стоят в чётной степени (второй и десятой), поэтому при переходе через 3 и через 1 знак дроби не меняется.
Выражения \(x - 2\), \(x\) и \(x + 3\) стоят в нечётной степени (первой, пятой и третьей), поэтому при переходе через 2, 0 и \(-3\) знак дроби меняется.
Знаки: на \((2; 3)\) — «+», на \((1; 2)\) — «−», на \((0; 1)\) — «−», на \((-3; 0)\) — «+», на \((-\infty; -3)\) — «−».
Дробь отрицательна на \((-\infty; -3)\), \((0; 1)\) и \((1; 2)\). Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя \(-3\), 1 и 2 входят в решение, а нули знаменателя 0 и 3 не входят. Число 1 входит в решение, поэтому промежутки \((0; 1)\) и \((1; 2)\) вместе с числами 1 и 2 образуют один промежуток \((0; 2]\). Множество решений — \((-\infty; -3] \cup (0; 2]\).
б) Числа 3 и 7 — корни трёхчлена \(x^2 - 10x + 21\) (\(3 + 7 = 10\), \(3 \cdot 7 = 21\)), поэтому \(x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)\).
Числа \(-18\) и \(-2\) — корни трёхчлена \(x^2 + 20x + 36\) (\(-18 + (-2) = -20\), \((-18) \cdot (-2) = 36\)), поэтому \(x^2 + 20x + 36 = (x + 2)(x + 18)\), и неравенство примет вид \[\frac{(x - 3)(x - 7)}{(x + 2)(x + 18)} \geqslant 0.\] Нули числителя — 3 и 7, нули знаменателя — \(-18\) и \(-2\), при них дробь не определена.
При \(x > 7\) все множители числителя и знаменателя положительны — дробь положительна.
Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из четырёх точек знак дроби меняется: на \((3; 7)\) дробь отрицательна, на \((-2; 3)\) — положительна, на \((-18; -2)\) — отрицательна, на \((-\infty; -18)\) — положительна.
Дробь положительна на \((-\infty; -18)\), \((-2; 3)\) и \((7; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя 3 и 7 входят в решение, а нули знаменателя \(-18\) и \(-2\) не входят. Множество решений — \((-\infty; -18) \cup (-2; 3] \cup [7; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; -3] \cup (0; 2]\); б) \((-\infty; -18) \cup (-2; 3] \cup [7; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(\frac{(x-1)^{10}(x+3)^3(x-2)}{x^5(x-3)^2} \le 0\); б) \(\frac{x^2-10x+21}{x^2+20x+36} \ge 0\).
а) Решим неравенство методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = -3\), \(x = 1\) и \(x = 2\), знаменатель — при \(x = 0\) и \(x = 3\); при этих двух значениях дробь не определена.
При \(x > 3\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из отмеченных точек знак может измениться только у того множителя, который в ней обращается в нуль. Выражения \(x - 3\) и \(x - 1\) стоят в чётной степени (второй и десятой), поэтому при переходе через 3 и через 1 знак дроби не меняется. Выражения \(x - 2\), \(x\) и \(x + 3\) стоят в нечётной степени (первой, пятой и третьей), поэтому при переходе через 2, 0 и \(-3\) знак дроби меняется. Получаем знаки: на \((2; 3)\) — «+», на \((1; 2)\) — «−», на \((0; 1)\) — «−», на \((-3; 0)\) — «+», на \((-\infty; -3)\) — «−».
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь отрицательна на промежутках \((-\infty; -3)\), \((0; 1)\) и \((1; 2)\). Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя \(-3\), 1 и 2 входят в решение, а нули знаменателя 0 и 3 не входят. Число 1 входит в решение, поэтому промежутки \((0; 1)\) и \((1; 2)\) вместе с числами 1 и 2 образуют один промежуток \((0; 2]\). Множество решений — \((-\infty; -3] \cup (0; 2]\).
б) Разложим числитель и знаменатель на множители. По теореме, обратной теореме Виета, числа 3 и 7 — корни трёхчлена \(x^2 - 10x + 21\) (\(3 + 7 = 10\), \(3 \cdot 7 = 21\)), а числа \(-18\) и \(-2\) — корни трёхчлена \(x^2 + 20x + 36\) (\(-18 + (-2) = -20\), \((-18) \cdot (-2) = 36\)). Поэтому \(x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)\), \(x^2 + 20x + 36 = (x + 2)(x + 18)\), и неравенство примет вид \[\frac{(x - 3)(x - 7)}{(x + 2)(x + 18)} \geqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = 3\) и \(x = 7\), знаменатель — при \(x = -18\) и \(x = -2\); при этих двух значениях дробь не определена.
При \(x > 7\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из четырёх точек знак дроби меняется: на промежутке \((3; 7)\) дробь отрицательна, на \((-2; 3)\) — положительна, на \((-18; -2)\) — отрицательна, на \((-\infty; -18)\) — положительна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь положительна на промежутках \((-\infty; -18)\), \((-2; 3)\) и \((7; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя 3 и 7 входят в решение, а нули знаменателя \(-18\) и \(-2\) не входят. Множество решений — \((-\infty; -18) \cup (-2; 3] \cup [7; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; -3] \cup (0; 2]\); б) \((-\infty; -18) \cup (-2; 3] \cup [7; +\infty)\).
