Страница 77 номер 301, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(\frac{x^2-9x+20}{x^2-13x+42} < 0\); б) \(\frac{x^2-8x+15}{x^3+5x} \ge 0\).
а) Числа 4 и 5 — корни трёхчлена \(x^2 - 9x + 20\) (\(4 + 5 = 9\), \(4 \cdot 5 = 20\)), поэтому \(x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)\).
Числа 6 и 7 — корни трёхчлена \(x^2 - 13x + 42\) (\(6 + 7 = 13\), \(6 \cdot 7 = 42\)), поэтому \(x^2 - 13x + 42 = (x - 6)(x - 7)\), и неравенство примет вид \[\frac{(x - 4)(x - 5)}{(x - 6)(x - 7)} < 0.\] Нули числителя — 4 и 5, нули знаменателя — 6 и 7.
При \(x > 7\) все множители числителя и знаменателя положительны — дробь положительна.
Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из четырёх точек знак дроби меняется: на \((6; 7)\) дробь отрицательна, на \((5; 6)\) — положительна, на \((4; 5)\) — отрицательна, на \((-\infty; 4)\) — положительна.
Дробь отрицательна на \((4; 5)\) и \((6; 7)\). Неравенство строгое, поэтому нули числителя 4 и 5 в решение не входят; нули знаменателя 6 и 7 не входят, так как при них дробь не определена. Множество решений — \((4; 5) \cup (6; 7)\).
б) Числа 3 и 5 — корни трёхчлена \(x^2 - 8x + 15\) (\(3 + 5 = 8\), \(3 \cdot 5 = 15\)), поэтому \(x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)\).
\(x^3 + 5x = x(x^2 + 5)\), и неравенство примет вид \[\frac{(x - 3)(x - 5)}{x(x^2 + 5)} \geqslant 0.\] Множитель \(x^2 + 5\) положителен при любом \(x\), так как \(x^2 \geqslant 0\); он не обращается в нуль и не влияет на знак дроби, поэтому неравенство равносильно неравенству \[\frac{(x - 3)(x - 5)}{x} \geqslant 0.\] Нули числителя — 3 и 5, нуль знаменателя — 0, при нём дробь не определена.
При \(x > 5\) множители \(x - 3\), \(x - 5\) и \(x\) положительны — дробь положительна.
Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из трёх точек знак дроби меняется: на \((3; 5)\) дробь отрицательна, на \((0; 3)\) — положительна, на \((-\infty; 0)\) — отрицательна.
Дробь положительна на \((0; 3)\) и \((5; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя 3 и 5 входят в решение, а нуль знаменателя 0 не входит. Множество решений — \((0; 3] \cup [5; +\infty)\).
Ответ: а) \((4; 5) \cup (6; 7)\); б) \((0; 3] \cup [5; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(\frac{x^2-9x+20}{x^2-13x+42} < 0\); б) \(\frac{x^2-8x+15}{x^3+5x} \ge 0\).
а) Разложим числитель и знаменатель на множители. По теореме, обратной теореме Виета, числа 4 и 5 — корни трёхчлена \(x^2 - 9x + 20\) (\(4 + 5 = 9\), \(4 \cdot 5 = 20\)), а числа 6 и 7 — корни трёхчлена \(x^2 - 13x + 42\) (\(6 + 7 = 13\), \(6 \cdot 7 = 42\)). Поэтому \(x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)\), \(x^2 - 13x + 42 = (x - 6)(x - 7)\), и неравенство примет вид \[\frac{(x - 4)(x - 5)}{(x - 6)(x - 7)} < 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = 4\) и \(x = 5\), знаменатель — при \(x = 6\) и \(x = 7\); при этих двух значениях дробь не определена.
При \(x > 7\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из четырёх точек знак дроби меняется: на промежутке \((6; 7)\) дробь отрицательна, на \((5; 6)\) — положительна, на \((4; 5)\) — отрицательна, на \((-\infty; 4)\) — положительна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь отрицательна на промежутках \((4; 5)\) и \((6; 7)\). Неравенство строгое, поэтому нули числителя 4 и 5 в решение не входят; нули знаменателя 6 и 7 не входят, так как при них дробь не определена. Множество решений — \((4; 5) \cup (6; 7)\).
б) Разложим числитель и знаменатель на множители. По теореме, обратной теореме Виета, числа 3 и 5 — корни трёхчлена \(x^2 - 8x + 15\) (\(3 + 5 = 8\), \(3 \cdot 5 = 15\)), поэтому \(x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)\). В знаменателе вынесем \(x\) за скобки: \(x^3 + 5x = x(x^2 + 5)\). Неравенство примет вид \[\frac{(x - 3)(x - 5)}{x(x^2 + 5)} \geqslant 0.\] Множитель \(x^2 + 5\) положителен при любом \(x\), так как \(x^2 \geqslant 0\). Он не обращается в нуль и не влияет на знак дроби, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству \[\frac{(x - 3)(x - 5)}{x} \geqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = 3\) и \(x = 5\), знаменатель — при \(x = 0\); при этом значении дробь не определена.
При \(x > 5\) множители \(x - 3\), \(x - 5\) и \(x\) положительны, поэтому дробь положительна. Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждую из трёх точек знак дроби меняется: на промежутке \((3; 5)\) дробь отрицательна, на \((0; 3)\) — положительна, на \((-\infty; 0)\) — отрицательна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки дроби и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь положительна на промежутках \((0; 3)\) и \((5; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя 3 и 5 входят в решение, а нуль знаменателя 0 не входит. Множество решений — \((0; 3] \cup [5; +\infty)\).
Ответ: а) \((4; 5) \cup (6; 7)\); б) \((0; 3] \cup [5; +\infty)\).
