Страница 77 номер 299, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Общий знаменатель дробей — \((2y - 1)(y + 2)\). Умножим обе части уравнения на это выражение при условии, что оно не равно нулю, раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть и разделим обе части на 5: \[\begin{aligned} \frac{3y + 1}{2y - 1} &= \frac{-7 - y}{y + 2}; \qquad | \cdot (2y - 1)(y + 2) \\ (3y + 1)(y + 2) &= (-7 - y)(2y - 1); \\ 3y^2 + 6y + y + 2 &= -14y + 7 - 2y^2 + y; \\ 3y^2 + 7y + 2 + 2y^2 + 13y - 7 &= 0; \\ 5y^2 + 20y - 5 &= 0; \qquad | : 5 \\ y^2 + 4y - 1 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения; \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20; \\ y_1 &= \frac{-4 - \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2\sqrt{5}}{2} = -2 - \sqrt{5}; \\ y_2 &= \frac{-4 + \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2\sqrt{5}}{2} = -2 + \sqrt{5}. \end{aligned}\] Проверим, не обращают ли найденные числа общий знаменатель в нуль. Множитель \(y + 2\) равен нулю только при \(y = -2\), а множитель \(2y - 1\) — только при \(y = 0{,}5\). Числа \(-2 - \sqrt{5}\) и \(-2 + \sqrt{5}\) отличаются от \(-2\) на \(\sqrt{5}\), поэтому не равны \(-2\). Число \(-2 - \sqrt{5}\) отрицательно, поэтому не равно \(0{,}5\). Число \(-2 + \sqrt{5}\) тоже не равно \(0{,}5\), так как \(\sqrt{5} \ne 2{,}5\): \(2{,}5^2 = 6{,}25 \ne 5\). Значит, общий знаменатель при найденных значениях не равен нулю, и \(-2 - \sqrt{5}\), \(-2 + \sqrt{5}\) — корни исходного уравнения.

б) Знаменатель второй дроби — квадрат суммы: \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\). Общий знаменатель дробей — \((x + 3)^2\). Умножим обе части уравнения на это выражение при условии, что оно не равно нулю: \[\begin{aligned} \frac{-2}{x + 3} &= \frac{15}{(x + 3)^2} - 1; \qquad | \cdot (x + 3)^2 \\ -2(x + 3) &= 15 - (x + 3)^2; \\ -2x - 6 &= 15 - x^2 - 6x - 9; \\ x^2 + 4x - 12 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2. \end{aligned}\] При \(x = -6\) выражение \((x + 3)^2\) равно \((-6 + 3)^2 = 9\), при \(x = 2\) — \((2 + 3)^2 = 25\). Общий знаменатель не обращается в нуль, значит, \(-6\) и 2 — корни исходного уравнения.

в) Разложим знаменатели на множители. По формуле разности квадратов \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). По теореме, обратной теореме Виета, числа \(-1\) и 5 — корни трёхчлена \(x^2 - 4x - 5\) (\(-1 + 5 = 4\), \(-1 \cdot 5 = -5\)), а числа 1 и 5 — корни трёхчлена \(x^2 - 6x + 5\) (\(1 + 5 = 6\), \(1 \cdot 5 = 5\)). Поэтому \(x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5)\) и \(x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)\).

Общий знаменатель дробей — \((x - 1)(x + 1)(x - 5)\). Умножим обе части уравнения на это выражение при условии, что оно не равно нулю: \[\begin{aligned} \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{3}{(x + 1)(x - 5)} &= \frac{6}{(x - 1)(x - 5)}; \qquad | \cdot (x - 1)(x + 1)(x - 5) \\ x - 5 + 3(x - 1) &= 6(x + 1); \\ x - 5 + 3x - 3 &= 6x + 6; \\ 4x - 6x &= 6 + 8; \\ -2x &= 14; \\ x &= -7. \end{aligned}\] При \(x = -7\) общий знаменатель равен \((-7 - 1)(-7 + 1)(-7 - 5) = (-8) \cdot (-6) \cdot (-12) = -576\), то есть не обращается в нуль. Значит, \(-7\) — корень исходного уравнения.

Ответ: а) \(-2 - \sqrt{5}\); \(-2 + \sqrt{5}\); б) \(-6\); \(2\); в) \(-7\).