Страница 77 номер 298, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{3}{x-1} + \frac{6x}{1-x} = 0\); б) \(\frac{5y-2}{2y+1} - \frac{3y+2}{y+3} = 0\); в) \(\frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{x^2-4x+4}\).
а) \(1 - x = -(x - 1)\), поэтому общий знаменатель — \(x - 1\): \[\begin{aligned} \frac{3}{x - 1} + \frac{6x}{1 - x} &= 0; \qquad | \cdot (x - 1) \\ 3 + \frac{6x}{-1} &= 0; \\ 3 - 6x &= 0; \\ -6x &= -3; \\ x &= 0{,}5. \end{aligned}\] \(0{,}5 - 1 = -0{,}5\) — при \(x = 0{,}5\) знаменатель \(x - 1\) не равен нулю, значит, \(0{,}5\) — корень уравнения.
б) Общий знаменатель — \((2y + 1)(y + 3)\): \[\begin{aligned} \frac{5y - 2}{2y + 1} - \frac{3y + 2}{y + 3} &= 0; \qquad | \cdot (2y + 1)(y + 3) \\ (5y - 2)(y + 3) - (3y + 2)(2y + 1) &= 0. \end{aligned}\] \((5y - 2)(y + 3) = 5y^2 + 15y - 2y - 6 = 5y^2 + 13y - 6\).
\((3y + 2)(2y + 1) = 6y^2 + 3y + 4y + 2 = 6y^2 + 7y + 2\). \[\begin{aligned} 5y^2 + 13y - 6 - (6y^2 + 7y + 2) &= 0; \\ -y^2 + 6y - 8 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ y^2 - 6y + 8 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4; \\ y_1 &= \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = 2; \\ y_2 &= \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4. \end{aligned}\] \((2 \cdot 2 + 1)(2 + 3) = 5 \cdot 5 = 25\) — общий знаменатель при \(y = 2\).
\((2 \cdot 4 + 1)(4 + 3) = 9 \cdot 7 = 63\) — общий знаменатель при \(y = 4\).
Общий знаменатель не обращается в нуль, значит, 2 и 4 — корни уравнения.
в) \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\), поэтому общий знаменатель — \((x - 2)^2\): \[\begin{aligned} \frac{5}{x - 2} + 1 &= \frac{14}{(x - 2)^2}; \qquad | \cdot (x - 2)^2 \\ 5(x - 2) + (x - 2)^2 &= 14; \\ 5x - 10 + x^2 - 4x + 4 &= 14; \\ x^2 + x - 20 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = 4. \end{aligned}\] \((-5 - 2)^2 = 49\) — общий знаменатель при \(x = -5\).
\((4 - 2)^2 = 4\) — общий знаменатель при \(x = 4\).
Общий знаменатель не обращается в нуль, значит, \(-5\) и 4 — корни уравнения.
Ответ: а) \(0{,}5\); б) \(2\); \(4\); в) \(-5\); \(4\).
Решите уравнение: а) \(\frac{3}{x-1} + \frac{6x}{1-x} = 0\); б) \(\frac{5y-2}{2y+1} - \frac{3y+2}{y+3} = 0\); в) \(\frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{x^2-4x+4}\).
а) Так как \(1 - x = -(x - 1)\), общий знаменатель дробей — \(x - 1\). Умножим обе части уравнения на выражение \(x - 1\) при условии, что оно не равно нулю: \[\begin{aligned} \frac{3}{x - 1} + \frac{6x}{1 - x} &= 0; \qquad | \cdot (x - 1) \\ 3 + \frac{6x}{-1} &= 0; \\ 3 - 6x &= 0; \\ -6x &= -3; \\ x &= 0{,}5. \end{aligned}\] При \(x = 0{,}5\) знаменатель \(x - 1\) не равен нулю: \(0{,}5 - 1 = -0{,}5\). Значит, \(0{,}5\) — корень исходного уравнения.
б) Общий знаменатель дробей — \((2y + 1)(y + 3)\). Умножим обе части уравнения на это выражение при условии, что оно не равно нулю: \[\begin{aligned} \frac{5y - 2}{2y + 1} - \frac{3y + 2}{y + 3} &= 0; \qquad | \cdot (2y + 1)(y + 3) \\ (5y - 2)(y + 3) - (3y + 2)(2y + 1) &= 0. \end{aligned}\] Раскроем скобки: \((5y - 2)(y + 3) = 5y^2 + 15y - 2y - 6 = 5y^2 + 13y - 6\), \((3y + 2)(2y + 1) = 6y^2 + 3y + 4y + 2 = 6y^2 + 7y + 2\). Приведём подобные слагаемые и умножим обе части уравнения на \(-1\): \[\begin{aligned} 5y^2 + 13y - 6 - (6y^2 + 7y + 2) &= 0; \\ -y^2 + 6y - 8 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ y^2 - 6y + 8 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4; \\ y_1 &= \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = 2; \\ y_2 &= \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4. \end{aligned}\] Подставим найденные числа в общий знаменатель: при \(y = 2\) получаем \((2 \cdot 2 + 1)(2 + 3) = 5 \cdot 5 = 25\), при \(y = 4\) — \((2 \cdot 4 + 1)(4 + 3) = 9 \cdot 7 = 63\). Общий знаменатель не обращается в нуль, значит, 2 и 4 — корни исходного уравнения.
в) Знаменатель второй дроби — квадрат разности: \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\). Общий знаменатель дробей — \((x - 2)^2\). Умножим обе части уравнения на это выражение при условии, что оно не равно нулю: \[\begin{aligned} \frac{5}{x - 2} + 1 &= \frac{14}{(x - 2)^2}; \qquad | \cdot (x - 2)^2 \\ 5(x - 2) + (x - 2)^2 &= 14; \\ 5x - 10 + x^2 - 4x + 4 &= 14; \\ x^2 + x - 20 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = 4. \end{aligned}\] При \(x = -5\) выражение \((x - 2)^2\) равно \((-5 - 2)^2 = 49\), при \(x = 4\) — \((4 - 2)^2 = 4\). Общий знаменатель не обращается в нуль, значит, \(-5\) и 4 — корни исходного уравнения.
Ответ: а) \(0{,}5\); б) \(2\); \(4\); в) \(-5\); \(4\).
