Страница 74 номер 291, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x + \sqrt{x - 2} - 4 = 0\); б) \((x - 3)^2 + 4|x - 3| - 5 = 0\).
а) При \(x - 2 \geqslant 0\) верно \(x = (\sqrt{x - 2})^2 + 2\). Пусть \(\sqrt{x - 2} = t\), тогда \(x = t^2 + 2\) и \(t^2 + 2 + t - 4 = 0\), то есть \(t^2 + t - 2 = 0\). \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ t_1 &= \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2; \\ t_2 &= \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1. \end{aligned}\] \(\sqrt{x - 2} = -2\) — решений нет, так как арифметический квадратный корень неотрицателен.
\(\sqrt{x - 2} = 1\), \(x - 2 = 1^2\), откуда \(x = 3\).
Проверка: \(3 + \sqrt{3 - 2} - 4 = 3 + 1 - 4 = 0\) — верное равенство, значит, \(3\) — корень уравнения.
б) \((x - 3)^2 = (|x - 3|)^2\). Пусть \(|x - 3| = t\), тогда \(t^2 + 4t - 5 = 0\). \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36; \\ t_1 &= \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5; \\ t_2 &= \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1. \end{aligned}\] \(|x - 3| = -5\) — решений нет, так как модуль любого числа неотрицателен.
\(|x - 3| = 1\), то есть \(x - 3 = -1\) или \(x - 3 = 1\), откуда \(x = 2\) или \(x = 4\).
Ответ: а) \(3\); б) \(2\); \(4\).
Решите уравнение: а) \(x + \sqrt{x - 2} - 4 = 0\); б) \((x - 3)^2 + 4|x - 3| - 5 = 0\).
а) Выражение \(\sqrt{x - 2}\) имеет смысл при \(x - 2 \geqslant 0\), и для всех таких значений \(x\) верно равенство \((\sqrt{x - 2})^2 = x - 2\), то есть \(x = (\sqrt{x - 2})^2 + 2\). Сделаем замену переменной \(\sqrt{x - 2} = t\). Тогда \(x = t^2 + 2\), и уравнение примет вид \(t^2 + 2 + t - 4 = 0\), то есть \(t^2 + t - 2 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ t_1 &= \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2; \\ t_2 &= \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, \(\sqrt{x - 2} = -2\) или \(\sqrt{x - 2} = 1\). Уравнение \(\sqrt{x - 2} = -2\) не имеет решений, так как арифметический квадратный корень — число неотрицательное. По определению арифметического квадратного корня из \(\sqrt{x - 2} = 1\) получаем \(x - 2 = 1^2\), откуда \(x = 3\).
Проверка: \(3 + \sqrt{3 - 2} - 4 = 3 + 1 - 4 = 0\) — верное равенство, значит, \(3\) — корень уравнения.
б) Модуль числа равен самому этому числу или противоположному ему числу, а квадраты противоположных чисел равны, поэтому \((x - 3)^2 = (|x - 3|)^2\). Сделаем замену переменной \(|x - 3| = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 + 4t - 5 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36; \\ t_1 &= \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5; \\ t_2 &= \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, \(|x - 3| = -5\) или \(|x - 3| = 1\). Уравнение \(|x - 3| = -5\) не имеет решений, так как модуль любого числа неотрицателен. Равенство \(|x - 3| = 1\) означает, что \(x - 3 = -1\) или \(x - 3 = 1\), откуда \(x = 2\) или \(x = 4\).
Ответ: а) \(3\); б) \(2\); \(4\).
