Страница 74 номер 289, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^6 + 5x^3 - 6 = 0\); б) \(x - 5\sqrt{x} + 4 = 0\); в) \((2y + 1)^2 - 11(2y + 1) + 30 = 0\).
а) Пусть \(x^3 = t\), тогда \(t^2 + 5t - 6 = 0\). \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49; \\ t_1 &= \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6; \\ t_2 &= \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1. \end{aligned}\] Функция \(y = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое из уравнений \(x^3 = -6\) и \(x^3 = 1\) имеет ровно один корень.
\(x^3 = -6\) — корень \(\sqrt[3]{-6} = -\sqrt[3]{6}\).
\(x^3 = 1\) — корень \(1\).
б) При \(x \geqslant 0\) верно \((\sqrt{x})^2 = x\). Пусть \(\sqrt{x} = t\), тогда \(t^2 - 5t + 4 = 0\). \[\begin{aligned} D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9; \\ t_1 &= \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4. \end{aligned}\] \(\sqrt{x} = 1\), откуда \(x = 1^2 = 1\).
\(\sqrt{x} = 4\), откуда \(x = 4^2 = 16\).
в) Пусть \(2y + 1 = t\), тогда \(t^2 - 11t + 30 = 0\). \[\begin{aligned} D &= (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1; \\ t_1 &= \frac{11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = 5; \\ t_2 &= \frac{11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = 6. \end{aligned}\] \(2y + 1 = 5\), \(2y = 4\), откуда \(y = 2\).
\(2y + 1 = 6\), \(2y = 5\), откуда \(y = 2{,}5\).
Ответ: а) \(-\sqrt[3]{6}\); \(1\); б) \(1\); \(16\); в) \(2\); \(2{,}5\).
Решите уравнение: а) \(x^6 + 5x^3 - 6 = 0\); б) \(x - 5\sqrt{x} + 4 = 0\); в) \((2y + 1)^2 - 11(2y + 1) + 30 = 0\).
а) Заметим, что \(x^6 = (x^3)^2\). Пусть \(x^3 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 + 5t - 6 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49; \\ t_1 &= \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6; \\ t_2 &= \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, \(x^3 = -6\) или \(x^3 = 1\). Функция \(y = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, и уравнение \(x^3 = a\) при любом \(a\) имеет ровно один корень — кубический корень \(\sqrt[3]{a}\). Уравнение \(x^3 = -6\) имеет единственный корень \(\sqrt[3]{-6} = -\sqrt[3]{6}\), так как \(\left(-\sqrt[3]{6}\right)^3 = -\left(\sqrt[3]{6}\right)^3 = -6\). Уравнение \(x^3 = 1\) имеет единственный корень \(1\), так как \(1^3 = 1\).
б) Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), и для всех таких значений \(x\) верно равенство \((\sqrt{x})^2 = x\). Сделаем замену переменной \(\sqrt{x} = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 - 5t + 4 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9; \\ t_1 &= \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4. \end{aligned}\] Значит, \(\sqrt{x} = 1\) или \(\sqrt{x} = 4\). По определению арифметического квадратного корня из \(\sqrt{x} = 1\) получаем \(x = 1^2 = 1\), а из \(\sqrt{x} = 4\) получаем \(x = 4^2 = 16\).
в) Пусть \(2y + 1 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 - 11t + 30 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1; \\ t_1 &= \frac{11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = 5; \\ t_2 &= \frac{11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = 6. \end{aligned}\] Значит, \(2y + 1 = 5\) или \(2y + 1 = 6\). При \(2y + 1 = 5\) получаем: \(2y = 4\), откуда \(y = 2\). При \(2y + 1 = 6\) получаем: \(2y = 5\), откуда \(y = 2{,}5\).
Ответ: а) \(-\sqrt[3]{6}\); \(1\); б) \(1\); \(16\); в) \(2\); \(2{,}5\).
