Страница 74 номер 287, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите точки пересечения графика функции \(y = x^4 + 2x^2 - 8\) с осью \(x\).
Абсциссы точек пересечения графика с осью \(x\) — корни уравнения \(x^4 + 2x^2 - 8 = 0\).
Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 + 2t - 8 = 0\). \[\begin{aligned} D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ t_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ t_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\] \(x^2 = -4\) — корней нет, так как квадрат любого числа неотрицателен.
\(x^2 = 2\) — корни \(-\sqrt{2}\) и \(\sqrt{2}\).
Следовательно, график пересекает ось \(x\) в точках \((-\sqrt{2}; 0)\) и \((\sqrt{2}; 0)\).
Ответ: \((-\sqrt{2}; 0)\) и \((\sqrt{2}; 0)\).
Найдите точки пересечения графика функции \(y = x^4 + 2x^2 - 8\) с осью \(x\).
Точки пересечения графика с осью \(x\) — это точки графика, ордината которых равна нулю. Их абсциссы — корни уравнения \(x^4 + 2x^2 - 8 = 0\). Это уравнение биквадратное. Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 + 2t - 8 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ t_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ t_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = -4\) или \(x^2 = 2\). Уравнение \(x^2 = -4\) не имеет корней, так как квадрат любого числа неотрицателен. Уравнение \(x^2 = 2\) имеет два корня: \(-\sqrt{2}\) и \(\sqrt{2}\). Следовательно, график функции \(y = x^4 + 2x^2 - 8\) пересекает ось \(x\) в двух точках: \((-\sqrt{2}; 0)\) и \((\sqrt{2}; 0)\).
Ответ: \((-\sqrt{2}; 0)\) и \((\sqrt{2}; 0)\).
