Страница 73 номер 286, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\); б) \(x^4 - 7x^2 - 18 = 0\); в) \(x^4 - 7x^2 + 64 = 0\).
а) Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 - 10t + 9 = 0\). \[\begin{aligned} D &= (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64; \\ t_1 &= \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = 9. \end{aligned}\] \(x^2 = 1\) — корни \(-1\) и \(1\).
\(x^2 = 9\) — корни \(-3\) и \(3\).
б) Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 - 7t - 18 = 0\). \[\begin{aligned} D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121; \\ t_1 &= \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 11}{2} = -2; \\ t_2 &= \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 11}{2} = 9. \end{aligned}\] \(x^2 = -2\) — корней нет, так как квадрат любого числа неотрицателен.
\(x^2 = 9\) — корни \(-3\) и \(3\).
в) Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 - 7t + 64 = 0\). \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 49 - 256 = -207.\] Дискриминант отрицателен — корней нет ни у уравнения \(t^2 - 7t + 64 = 0\), ни у исходного уравнения.
Ответ: а) \(-3\); \(-1\); \(1\); \(3\); б) \(-3\); \(3\); в) решений нет.
Решите уравнение: а) \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\); б) \(x^4 - 7x^2 - 18 = 0\); в) \(x^4 - 7x^2 + 64 = 0\).
а) Уравнение биквадратное. Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 - 10t + 9 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64; \\ t_1 &= \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = 9. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = 1\) или \(x^2 = 9\). Числа 1 и 9 положительны, поэтому каждое из этих уравнений имеет два корня: уравнение \(x^2 = 1\) — числа \(-1\) и \(1\), уравнение \(x^2 = 9\) — числа \(-3\) и \(3\).
б) Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 - 7t - 18 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121; \\ t_1 &= \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 11}{2} = -2; \\ t_2 &= \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 11}{2} = 9. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = -2\) или \(x^2 = 9\). Уравнение \(x^2 = -2\) не имеет корней, так как квадрат любого числа неотрицателен. Уравнение \(x^2 = 9\) имеет два корня: \(-3\) и \(3\).
в) Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 - 7t + 64 = 0\). Найдём его дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 49 - 256 = -207.\] Дискриминант отрицателен, поэтому уравнение \(t^2 - 7t + 64 = 0\) не имеет корней. Следовательно, не имеет корней и исходное уравнение.
Ответ: а) \(-3\); \(-1\); \(1\); \(3\); б) \(-3\); \(3\); в) решений нет.
