Страница 73 номер 285, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите точки пересечения графика функции \(y = x^4 + 4x^2 - 5\) с осью \(x\).
Абсциссы точек пересечения графика с осью \(x\) — корни уравнения \(x^4 + 4x^2 - 5 = 0\).
Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 + 4t - 5 = 0\). \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36; \\ t_1 &= \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5; \\ t_2 &= \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1. \end{aligned}\] \(x^2 = -5\) — корней нет, так как квадрат любого числа неотрицателен.
\(x^2 = 1\) — корни \(-1\) и \(1\).
Следовательно, график пересекает ось \(x\) в точках \((-1; 0)\) и \((1; 0)\).
Ответ: \((-1; 0)\) и \((1; 0)\).
Найдите точки пересечения графика функции \(y = x^4 + 4x^2 - 5\) с осью \(x\).
Точки пересечения графика с осью \(x\) — это точки графика, ордината которых равна нулю. Их абсциссы — корни уравнения \(x^4 + 4x^2 - 5 = 0\). Это уравнение биквадратное. Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 + 4t - 5 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36; \\ t_1 &= \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5; \\ t_2 &= \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = -5\) или \(x^2 = 1\). Уравнение \(x^2 = -5\) не имеет корней, так как квадрат любого числа неотрицателен. Уравнение \(x^2 = 1\) имеет два корня: \(-1\) и \(1\). Следовательно, график функции \(y = x^4 + 4x^2 - 5\) пересекает ось \(x\) в двух точках: \((-1; 0)\) и \((1; 0)\).
Ответ: \((-1; 0)\) и \((1; 0)\).
