Страница 73 номер 284, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Оба уравнения биквадратные. В каждом из них сделаем замену переменной \(x^2 = t\) и выясним знаки корней получившегося квадратного уравнения.

Уравнение \(x^4 + 3x^2 + 2 = 0\) примет вид \(t^2 + 3t + 2 = 0\). Найдём корни этого уравнения: \[\begin{aligned} D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1; \\ t_1 &= \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2; \\ t_2 &= \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1. \end{aligned}\] Оба корня отрицательны. Уравнения \(x^2 = -2\) и \(x^2 = -1\) не имеют корней, так как квадрат любого числа неотрицателен. Значит, уравнение \(x^4 + 3x^2 + 2 = 0\) корней не имеет.

Уравнение \(x^4 + x^2 - 12 = 0\) примет вид \(t^2 + t - 12 = 0\). Найдём корни этого уравнения: \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49; \\ t_1 &= \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4; \\ t_2 &= \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3. \end{aligned}\] Уравнение \(x^2 = -4\) не имеет корней, так как квадрат любого числа неотрицателен. Уравнение \(x^2 = 3\) имеет два корня: \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\). Значит, уравнение \(x^4 + x^2 - 12 = 0\) имеет ровно два корня.

Ответ: ровно два корня имеет уравнение \(x^4 + x^2 - 12 = 0\).