Страница 73 номер 283, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\); б) \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\); в) \(x^4 + 8x^2 + 6 = 0\).
а) Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 - 5t + 4 = 0\). \[\begin{aligned} D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9; \\ t_1 &= \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4. \end{aligned}\] \(x^2 = 1\) — корни \(-1\) и \(1\).
\(x^2 = 4\) — корни \(-2\) и \(2\).
б) Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 - 3t - 4 = 0\). \[\begin{aligned} D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25; \\ t_1 &= \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1; \\ t_2 &= \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4. \end{aligned}\] \(x^2 = -1\) — корней нет, так как квадрат любого числа неотрицателен.
\(x^2 = 4\) — корни \(-2\) и \(2\).
в) Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 + 8t + 6 = 0\).
\(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\). \[\begin{aligned} D &= 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 64 - 24 = 40; \\ t_1 &= \frac{-8 - \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2\sqrt{10}}{2} = -4 - \sqrt{10}; \\ t_2 &= \frac{-8 + \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2\sqrt{10}}{2} = -4 + \sqrt{10}. \end{aligned}\] Оба значения \(t\) отрицательны: число \(-4 - \sqrt{10}\) — сумма двух отрицательных чисел \(-4\) и \(-\sqrt{10}\).
Из \(10 < 16\) следует \(\sqrt{10} < \sqrt{16} = 4\), значит, \(-4 + \sqrt{10} < 0\).
\(x^2 = -4 - \sqrt{10}\) и \(x^2 = -4 + \sqrt{10}\) — корней нет, так как квадрат любого числа неотрицателен. Следовательно, у исходного уравнения корней нет.
Ответ: а) \(-2\); \(-1\); \(1\); \(2\); б) \(-2\); \(2\); в) решений нет.
Решите уравнение: а) \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\); б) \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\); в) \(x^4 + 8x^2 + 6 = 0\).
а) Уравнение биквадратное. Так как \(x^4 = (x^2)^2\), сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 - 5t + 4 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9; \\ t_1 &= \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = 1\) или \(x^2 = 4\). Числа 1 и 4 положительны, поэтому каждое из этих уравнений имеет два корня: уравнение \(x^2 = 1\) — числа \(-1\) и \(1\), уравнение \(x^2 = 4\) — числа \(-2\) и \(2\).
б) Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 - 3t - 4 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25; \\ t_1 &= \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1; \\ t_2 &= \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 = -1\) или \(x^2 = 4\). Уравнение \(x^2 = -1\) не имеет корней, так как квадрат любого числа неотрицателен. Уравнение \(x^2 = 4\) имеет два корня: \(-2\) и \(2\).
в) Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 + 8t + 6 = 0\). Найдём его корни, учитывая, что \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\): \[\begin{aligned} D &= 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 64 - 24 = 40; \\ t_1 &= \frac{-8 - \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2\sqrt{10}}{2} = -4 - \sqrt{10}; \\ t_2 &= \frac{-8 + \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2\sqrt{10}}{2} = -4 + \sqrt{10}. \end{aligned}\] Оба корня отрицательны. Число \(-4 - \sqrt{10}\) — сумма двух отрицательных чисел \(-4\) и \(-\sqrt{10}\). Большему из двух неотрицательных чисел соответствует больший арифметический квадратный корень, поэтому из \(10 < 16\) следует \(\sqrt{10} < \sqrt{16} = 4\), и, значит, \(-4 + \sqrt{10} < 0\).
Уравнения \(x^2 = -4 - \sqrt{10}\) и \(x^2 = -4 + \sqrt{10}\) не имеют корней, так как квадрат любого числа неотрицателен. Следовательно, у исходного уравнения корней нет.
Ответ: а) \(-2\); \(-1\); \(1\); \(2\); б) \(-2\); \(2\); в) решений нет.
