Страница 70 номер 270, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(3 + x^3 = 2\); б) \(x^3 + 3x^5 = 5 - x\).
а) \[\begin{aligned} 3 + x^3 &= 2; \\ x^3 &= 2 - 3; \\ x^3 &= -1. \end{aligned}\] Функция \(y = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение \(x^3 = -1\) имеет единственный корень; \((-1)^3 = -1\), значит, это число \(-1\).
б)
\[\begin{aligned} x^3 + 3x^5 &= 5 - x; \\ 3x^5 + x^3 + x &= 5. \end{aligned}\]
Число 1 — корень: \(3 \cdot 1^5 + 1^3 + 1 = 3 + 1 + 1 = 5\).
Функции \(y = 3x^5\), \(y = x^3\) и \(y = x\) возрастают на всей числовой прямой, поэтому их сумма \(f(x) = 3x^5 + x^3 + x\) тоже возрастает на всей числовой прямой, и уравнение \(3x^5 + x^3 + x = 5\) имеет не больше одного корня. Значит, 1 — единственный корень.
Ответ: а) \(-1\); б) \(1\).
Решите уравнение: а) \(3 + x^3 = 2\); б) \(x^3 + 3x^5 = 5 - x\).
а) Перенесём число 3 в правую часть уравнения: \[\begin{aligned} 3 + x^3 &= 2; \\ x^3 &= 2 - 3; \\ x^3 &= -1. \end{aligned}\] Функция \(y = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое своё значение она принимает ровно один раз и уравнение \(x^3 = -1\) имеет единственный корень. Это число \(-1\), так как \((-1)^3 = -1\).
б) Перенесём слагаемое \(-x\) в левую часть уравнения и запишем слагаемые в порядке убывания степеней: \[\begin{aligned} x^3 + 3x^5 &= 5 - x; \\ 3x^5 + x^3 + x &= 5. \end{aligned}\] Число 1 является корнем этого уравнения: \(3 \cdot 1^5 + 1^3 + 1 = 3 + 1 + 1 = 5\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = 3x^5 + x^3 + x\). Функции \(y = x^3\) и \(y = x\) возрастают на всей числовой прямой. Функция \(y = 3x^5\) тоже возрастает на всей числовой прямой: если \(x_1 < x_2\), то \(x_1^5 < x_2^5\), так как функция \(y = x^5\) возрастает, и, значит, \(3x_1^5 < 3x_2^5\). Сумма двух возрастающих функций — возрастающая функция; применив это свойство дважды, получим, что функция \(f(x)\) возрастает на всей числовой прямой. Следовательно, каждое своё значение она принимает ровно один раз и уравнение \(3x^5 + x^3 + x = 5\) имеет не больше одного корня. Значит, единственным корнем этого уравнения является число 1.
Ответ: а) \(-1\); б) \(1\).
